Ruffini per la scomposizione di un polinomio

Si supponga di voler scomporre il seguente polinomio:

\(x^3+x^2-4x-4\)

In una forma del tipo:

\((Ax^2+Bx+C)(x+D)\)

Per poterlo fare non ci rimane che scoprire i coefficienti A, B, C e D. Se questa scomposizione è possibile allora il numero D è, in modulo, una radice del polinomio \(x^3+x^2-4x-4\).

Ricordiamo che una radice di un polinomio è un numero che sostituito alla \(x\) annulla il polinomio stesso. Ci dovrà dunque essere un numero che sostituito al polinomio \( x^3+x^2-4x-4\) lo rende uguale a zero.

Un numero intuitivamente individuabile come radice del polinomio \(x^3+x^2-4x-4\) è \(-2\) , infatti:

\(x^3+x^2-4x-4=0\)

\((-2)^3+(-2)^2-4(-2)-4=0\)

\(-8+4+8-4=0\)

\(0=0\)

\(x_1=-2\)

Il polinomio \(x^3+x^2-4x-4\) ha grado tre, perciò, ci si aspetta abbia un massimo di 3 radici \((x_1,x_2,x_3)\) cioè, valori che annullano il polinomio.

Se è vero che:

\(x^3+x^2-4x-4=(Ax^2+Bx+ C)(x+ 2)\)

Allora è vero che se \(x=-2\) allora il prodotto si annulla. Cioè per \(x=-2\) si ha che \((Ax^2+Bx^2+C)(x+2)=0\)

Infatti:

\((A(-2)^2+B(-2)+C)((-2)+2)=0\)

\((4A-2B+C)(0)=0\)

\(0=0\)

Quindi può essere affermato che \(D=-x_1=2\)

Utilizzo del metodo di Ruffini

Di seguito viene presentato come usare il metodo di Ruffini sul polinomio \(x^3+x^2-4x-4\), sapendo che una sua radice è \(-2\).

Come prima cosa si mettono i coefficienti del polinomio in una tabella, esattamente come riportato di seguito.

La tabella viene riempita considerando che la radice è \(-2\) e riportandola nel riquadro come indicato di seguito.

Il primo passo è “abbassare” il primo coefficiente del polinomio, come indicato di seguito:

Poi si moltiplica il numero in basso con la radice e lo si riporta sotto il secondo coefficiente, come di seguito.

Si sommano i numeri appena incolonnati e si riporta il risultato al centro del riquadro basso centrale, come riportato di seguito.

Si moltiplica il numero appena ottenuto con la radice, riportando il numero sotto l’ultimo coefficiente del polinomio, come di seguito.

Si sommano i numeri appena incolonnati.

Si moltiplica l’ultimo numero ottenuto per la radice del polinomio e si incolonna il risultato con l’ultimo numero utile.

A questo punto si chiude ottenendo il resto pari a zero.

Quindi il polinomio di partenza è scomponibile come riportato qui di seguito:

\(x^3+x^2-4x-4=({\color{DarkOrange} 1}x^2-{\color{DarkOrange} 1}x{\color{DarkOrange} -2}({\color{DarkOrange} x+2})\)

\(x^3+x^2-4x-4=(x^2-x-2)(x+2)\)

E verificando si ottiene appunto il polinomio di partenza:

\((x^2-x-2)(x+2)=x^3+2x^2-x^2-2x-2x-4\)

\({\color{DarkOrange} x^3}+2 {\color{DarkOrange} x^2}-2{\color{DarkOrange} x}-2{\color{DarkOrange} x}-4=\)

\(=-2{\color{DarkOrange} x^3+x^2-4x-4}\)