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Ricavare le formule inverse della Legge di Ampère

Difficoltà: Scuola Superiore

Materia: Fisica

Saper isolare le variabili nelle formule è una delle abilità che lo studente deve possedere per risolvere i problemi proposti dai testi scolastici o nelle verifiche. Vedremo di seguito come ricavare tutte le formule inverse della Legge di Ampère.

Teniamo in considerazione che, qualsiasi sia il numero delle variabili presenti in una formula, sono valide le seguenti regole:

  • Con una sola condizione servono tutte le variabili tranne una;
  • Con due condizioni servono tutte le variabili tranne due;
  • Con tre condizioni servono tutte le variabili tranne tre…

E così via.

La forza di attrazione tra due fili percorsi da corrente è data dalla seguente formula:

Formula matematica che descrive la forza di attrazione tra due fili percorsi da corrente (legge di Ampère)

Di cui è già stato scritto nell’articolo “La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente” il significato.

Tipicamente la formula nei libri viene considerata in modo semplificato, considerando solo i moduli dei vettori. Perciò la si scrive spesso così:

\(F=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{d}\)

Tenendo però sempre a mente deve poi essere interpretata successivamente in termini vettoriali.

(Se non sai cos’è un vettore puoi approfondire qui: APPROFONDISCI)

Per trovare la corrente \(i_i\)

Per trovare la corrente \(i_i\) devono essere noti:

  • La corrente nel secondo filo \(i_2\);
  • La lunghezza dei fili \(l\);
  • La distanza tra i fili \(d\);
  • La permeabilità magnetica relativa \(\mu_r\), indicativa del mezzo in cui si trovano i fili;
  • Il modulo della forza di attrazione tra i due fili \(F\);

Si parte dalla legge di Ampère:

\(F=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{d}\)

Si moltiplica a sinistra e a destra per \(2\pi d\)

\(2\pi d F=\frac{\mu}{\cancel{2\pi}}\frac{i_1 i_2 l}{\cancel{d}} \cancel{2\pi d}\)

\(2 \pi d F=\mu i_1 i_2 l\)

Si divide a sinistra e a destra per \(\mu i_2 l\):

\(\frac{2\pi d F}{\mu i_2 l}=\frac{ \cancel{\mu} i_1 \cancel{i_2 l}}{\cancel{\mu i_2 l}}\)

\(\frac{2\pi dF}{\mu i_2 l}=i_1\)

Ovvero:

\(i_1=\frac{2\pi}{\mu}\frac{Fd}{i_2l}\)

Per trovare la corrente \(i_2\)

Per trovare la corrente \(i_2\) devono essere noti:

  • La corrente nel primo filo \(i_1\);
  • La lunghezza dei fili \(l\);
  • La distanza tra i fili \(d\);
  • La permeabilità magnetica relativa \(\mu_r\), indicativa del mezzo in cui si trovano i fili;
  • Il modulo della forza di attrazione tra i due fili \(F\);

Si parte dalla legge di Ampère:

\(F=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{d}\)

Si moltiplica a sinistra e a destra per \(2\pi d\)

\(2\pi dF=\frac{\mu}{\cancel{2\Pi}}\frac{i_1 i_2 l}{\cancel{d}}\cancel{2\pi d}\)

\(2\pi d F=\mu i_1 i_2 l\)

Si divide a sinistra e a destra per \(\mu i_1 l\):

\(\frac{2\pi dF}{\mu i_1 l}=\frac{\cancel{\mu_1 l } i_2}{\cancel{\mu i_1 l}}\)

\(\frac{2\pi d F}{\mu i_1 l}=i_2\)

Ovvero:

\(i_2=\frac{2\pi}{\mu}\frac{Fd}{i_2 l}\)

Per trovare la lunghezza dei fili \(l\)

Per trovare la lunghezza dei fili \(l\) devono essere noti:

  • La corrente nel primo filo \(i_1\);
  • La corrente nel secondo filo \(i_2\);
  • La distanza tra i fili \(d\):
  • La permeabilità magnetica relativa \(\mu_r\), indicativa del mezzo in cui si trovano i fili;
  • Il modulo della forza di attrazione tra i due fili \(F\);

Si parte dalla legge di Ampère:

\(F=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{d}\)

Si moltiplica a sinistra e a destra per \(2\pi d\):

\(2\pi dF=\frac{\mu}{\cancel{2\pi}}\frac{i_1 i_2 l}{\cancel{d}}\cancel{2 \pi d}\)

\(2\pi d F= \mu i_1 i_2 l\)

Si divide a sinistra e a destra per \(\mu i_1 i_2\):

\(\frac{2\pi d F}{\mu i_1 i_2}=\frac{\cancel{\mu i_1 i_2} l}{\cancel{\mu i_1 i_2}}\)

\(\frac{2\pi d F}{\mu i_1 i_2}=l\)

Ovvero:

\(l=\frac{2\pi}{\mu}\frac{Fd}{i_1 i_2}\)

Per trovare la permeabilità magnetica relativa \(\mu_r\):

Per trovare la permeabilità magnetica relativa \(\mu_r\) devono essere noti:

  • La corrente nel primo filo \(i_1\);
  • La corrente nel secondo filo \(i_2\);
  • La distanza tra i fili \(d\);
  • La lunghezza dei fili \(l\);
  • Il modulo della forza di attrazione tra i due fili \(F\);

Si parte dalla legge di Ampère:

\(F=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{d}\)

Si moltiplica a sinistra e a destra per \(2\pi d\):

\(2\pi d F=\frac{\mu}{\cancel{2\pi}}\frac{i_1 i_2 l}{\cancel{d}}\cancel{2\pi d}\)

\(2\pi d F=\mu i_1 i_2 l\)

Si divide a sinistra e a destra per \(i_1 i_2 l\):

\(\frac{2\pi d F}{i_1 i_2 l}=\frac{\mu \cancel{i_1 i_2 l}}{\cancel{i_1 i_2 l}}\)

\(\frac{2\pi d F }{i_i i_2 l}=\mu \)

Ovvero:

\( \mu= 2\pi\frac{Fd}{i_1 i_2 l}\)

Siccome poi \(\mu= \mu_r \mu_0\) (in cui \(\mu_0\) è la permeabilità magnetica del vuoto ed è costante) allora si ha:

\(\mu_r \mu_0=2\pi \frac{Fd}{i_1 i_2 l}\)

Dividendo a sinistra e a destra per \(\mu_0\) possiamo ottenere:

\(\frac{\mu_r \cancel{\mu_0}}{\cancel{\mu_0}}=2\pi \frac{Fd}{i_1 i_2 l}\cdot \frac{1}{\mu_0}\)

Quindi:

\(\mu_r=\frac{2\pi}{\mu_0}\frac{Fd}{i_1 i_2 l}\)

Per trovare la distanza tra i due fili \(d\)

Per trovare la distanza tra i due fili \(d\) devono essere noti:

  • La corrente nel primo filo \(i_1\);
  • La corrente nel secondo filo \(i_2\);
  • La lunghezza dei fili \(l\);
  • La permeabilità magnetica relativa \(\mu_r\), indicativa del mezzo in cui si trovano i fili;
  • Il modulo della forza di attrazione tra i due fili \(F\);

Si parte dalla legge di Ampère:

\(F=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{d}\)

Si moltiplica a sinistra e a destra per \(d\):

\(dF=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{\cancel{d}}\cancel{d}\)

\(dF=\frac{\mu}{2\pi}i_1 i_2 l\)

Si divide a sinistra e a destra per \(F\):

\(\frac{d \cancel{F}}{\cancel{F}}=\frac{\mu}{2\pi}i_1 i_2 l \cdot \frac{1}{F}\)

Ovvero:

\(d=\frac{\mu}{2\pi}\frac{i_1 i_2 l}{F}\)