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Come calcolare il volume di un prisma retto

Difficoltà: Scuola Media e Superiore

Materia: Matematica

Il prisma è un solido che ha due superfici di base, le quali sono entrambe poligoni ed entrambe uguali, e una superficie laterale, la quale ha facce costituite da soli parallelogrammi.

Supponiamo di chiamare \(S_B\) la superficie di base del prisma e \(h\) l’altezza del prisma stesso. L’esempio più classico di prisma è il prisma retto a base quadrata o rettangolare, come quello rappresentato nella figura seguente.

Esempio di prisma retto a base rettangolare
Figura 1 Esempio di prisma retto a base rettangolare

Il volume di qualsiasi prima (anche non retto) è dato dalla seguente formula:

\(V=S_B h\)

Il calcolo della superficie di base \(S_B\) dipende dal poligono che è presente alla base.

Le possibili base del prisma per calcolare il volume
Figura 2 Possibili basi del prisma

Nella tabella seguente vengono riportati diversi casi possibili di calcolo di volume di prismi retti.

Poligono alla base del prisma retto
Valore superficie di base
Volume prisma
Valore superficie di baseVolume prisma
Quadrato (lato \(l\) )\(S_B=l^2\)\(S_B h=l^2 h\)
Rettangolo (base \(b\) altezza \(a\) )\(S_B=ab\)\(S_B h=abh\)
Rombo (diagonale maggiore \(D\), diagonale minore \(d\) )\(S_B=\frac{Dd}{2}\)\(S_B h=\frac{Dd}{2}\cdot h\)
Triangolo (base \(b\), altezza \(a\) )\(S_B=\frac{ab}{2}\)\(S_B h= \frac{ab}{2}\cdot h\)
Pentagono regolare (lato \(l\), apotema \(a\) )\(S_B=\frac{5l \cdot a}{2}\)\(S_B h=\frac{5l \cdot a}{2}\cdot h\)
Esagono regolare (lato \(l\), apotema \(a\) )\(S_B=\frac{6l \cdot a}{2}\)\(S_B h=\frac{6l \cdot a}{2}\cdot h\)
Ottagono regolare ( lato \(l\), apotema \(a\) )\(S_B=\frac{8l \cdot a}{2}\)\(S_B h=\frac{8l \cdot a}{2} \cdot h\)

Esempio..

Calcoliamo il volume di un prisma retto a base pentagonale. Supponiamo che il pentagono abbia lato pari a 5cm e apotema pari a 4cm e che il prisma abbia altezza pari a 7cm.

Per calcolare il volume dobbiamo usare la formula presente in tabella per il prisma retto a base pentagonale e cioè:

\(V=S_B h=\frac{5l \cdot a}{2} \cdot h\)

Da cui, sostituendo, si ottiene:

\(V=\frac{5(5cm) \cdot (4cm)}{2}\cdot (7cm)=350cm^3\)