è un classico esercizio di geometria analitica che richiede di determinare l’equazione a partire da due punti e da una condizione geometrica sul centro. In questo articolo viene mostrato il metodo per utilizzare la formula della distanza, imporre l’equidistanza dei punti dal centro e ricavare correttamente centro, raggio ed equazione finale. Il contenuto è pensato per studenti che cercano un esercizio svolto sulla circonferenza con spiegazione chiara, passaggi dettagliati e applicazione rigorosa della geometria analitica.

Obiettivo didattico
Imparare a determinare l’equazione di una circonferenza quando sono noti due punti della circonferenza e una condizione geometrica sul centro.

1 Testo dell’esercizio (riformulato)

Determinare l’equazione della circonferenza che passa per i punti \(A (-2,0)\) e \( B(3,1)\), sapendo che il suo centro appartiene all’asse delle ordinate.

Perché questo esercizio è interessante
Non basta sostituire i punti nell’equazione generale della circonferenza. La condizione decisiva è geometrica: il centro deve stare sull’asse y e deve avere la stessa distanza dai punti A e B.

2 Come riconoscere questo tipo di esercizio

Questo esercizio appartiene alla geometria analitica della circonferenza. Si riconosce perché combina due informazioni diverse:

due punti appartenenti alla circonferenza;
una condizione sulla posizione del centro.

Il passaggio chiave è trasformare la condizione “centro sull’asse delle ordinate” in coordinate.

Ricorda
Un punto sull’asse delle ordinate ha ascissa nulla. Perciò il centro della circonferenza può essere scritto come \( C(0,Y_c)\).

3 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

3,1 Idea concettuale

Una circonferenza è l’insieme dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso, chiamato centro. Questa distanza costante è il raggio.

Formula della distanza tra due punti

Se \(P(x_p,y_p)\) e \(Q(x_q,y_q)\), allora la loro distanza è \(d(P,Q)= \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}\).

Equazione della circonferenza con centro noto:

Se il centro è \(C(x_C,Y_C)\) e il raggio è r, allora l’equazione è \((x-x_c)^2+(y-y_C)^2=r^2\)

4 Strategia di risoluzione

Metodo

1 Scrivere il centro nella forma \(C(0,Y_c)\).
2 Imporre che A e B abbiano la stessa distanza dal centro.
Risolvere l’equazione per trovare \(Y_C\).
Calcolare il raggio usando A oppure B.
Scrivere l’equazione della circonferenza e svilupparla.

5 Soluzione svolta passo per passo.

1) Scriviamo le coordinate del centro

Il centro si trova sull’asse delle ordinate. Su questo asse tutti i punti hanno ascissa uguale a zero. L’unica coordinata ancora sconosciuta è quindi l’ordinata del centro.

2) Usiamo il fatto che A e B sono punti della stessa circonferenza

Se A e B appartengono alla circonferenza, allora la loro distanza dal centro è uguale al raggio. Di conseguenza le due distanze AC e BC devono essere uguali.

\(AC= BC\)

3) Scriviamo le distanze dal centro

Calcoliamo prima la distanza tra il centro \( C(0,Y_C)\), e il punto \(A(-2,0)\). Poi facciamo lo stesso con il punto \(B(3,1)\).

\begin{aligned} AC^2 &= (0 – (-2))^2 + (y_C – 0)^2 = 4 + y_C^2 \\ BC^2 &= (0 – 3)^2 + (y_C – 1)^2 = 9 + (y_C – 1)^2 \end{aligned}

Perché usiamo i quadrati delle distanze?
Le distanze AC e BC sono uguali se e solo se sono uguali anche i loro quadrati. In questo modo evitiamo le radici quadrate e il calcolo diventa più semplice.

4) Imponiamo l’uguaglianza tra le distanze

Poiché \(AC^2=BC^2\), uguagliamo le due espressioni trovate nel passaggio precedente.

4 + y_C^2 = 9 + (y_C – 1)^2

5) Sviluppiamo e risolviamo l’equazione

Sviluppiamo il quadrato del binomio e semplifichiamo i termini uguali presenti in entrambi i membri.

4 + y_C^2 = 9 + y_C^2 – 2y_C + 1

4=10-2y_c

2y_c=6

y_c=3

Attenzione
Un errore frequente è scrivere che la circonferenza “passa per il centro”. Non è così: il centro non appartiene alla circonferenza, salvo casi degeneri. Il centro serve a definire tutti i punti equidistanti da esso.

6. Troviamo il centro

Sostituendo il valore trovato, il centro della circonferenza è:

C=(0,3)

7. Calcoliamo il raggio

Possiamo calcolare il raggio come distanza tra il centro e uno qualunque dei punti della circonferenza. Usiamo il punto A.

r² = AC² = (0 – (-2))² + (3 – 0)² = 4 + 9 = 13

8. Scriviamo l’equazione della circonferenza Usiamo la forma con centro noto. Poiché C = (0, 3) e r² = 13, otteniamo:

\begin{aligned} (x-0)^2 + (y-3)^2 &= 13 \\ x^2 + (y-3)^2 &= 13 \\ x^2 + y^2 – 6y + 9 &= 13 \\ x^2 + y^2 – 6y – 4 &= 0 \end{aligned}

Risultato finale
L’equazione della circonferenza è \(x^2+y^2-6y-4=0\). In forma con centro e raggio: \(x^2+(y-3)^2=13\)

6 Rappresentazione grafica

La figura mostra il centro sull’asse y, i due punti A e B sulla circonferenza e i due raggi congruenti AC e BC.

Esercizio svolto sulla circonferenza con centro sull’asse delle ordinate — Figura 1 — Circonferenza di centro C(0, 3) e raggio √13 passante per A(−2, 0) e B(3, 1).

7 Verifica del risultato

Controllo finale
Sostituendo \( A(-2,0)\) nell’equazione \(x^2+y^2-6y-4=0\) si ottiene \(4+0-0-4=0\) . Sostituendo \(B(3,1)\) si ottiene \(9+1-6-4=0\) . Entrambi i punti soddisfano l’equazione.

1 Errori frequenti in esercizi simili

Confondere centro e punto: Il centro non è un punto della circonferenza: è il punto rispetto al quale tutti i punti della circonferenza sono equidistanti.

Dimenticare il vincolo sull’asse y: Se il centro è sull’asse delle ordinate, la sua ascissa deve essere zero.

Usare una sola condizione: Due punti non bastano a determinare una circonferenza unica se non aggiungiamo un vincolo sul centro.Sviluppare male il quadrato: Il termine \((y_C-1)^2\) diventa \(y_C^2-2y_c+1\), non \(y_C^2-1\).

9 Domande di controllo

Perché il centro può essere scritto come \(c(0,y_C)\)?
Perché possiamo imporre \(AC=BC\)?
Perché è utile lavorare con i quadrati delle distanze?
Come verifichi che il risultato finale sia corretto?

10 Variante simile dell’esercizio

Allenamento
Determina l’equazione della circonferenza passante per \(P(-1,2)\) e \(Q(4,0)\) sapendo che il centro appartiene all’asse delle ascisse.

11 Sintesi finale

Il metodo consiste nel trasformare la condizione geometrica sul centro in coordinate, imporre l’equidistanza dai punti e poi scrivere l’equazione nella forma con centro e raggio. Il risultato è:

x² + y² – 6y – 4 = 0

Esercizio svolto sulla circonferenza con centro sull’asse delle ordinate

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