Testo
Dato un mazzo di carte napoletane, calcola la probabilità:
- Estraendo due carte di ottenere come somma 11, senza rimettere la prima nel mazzo
- estraendo due carte di ottenere come somma 11, rimettendo la prima nel mazzo.
Soluzione
Punto 1
Per ottenere 11 come somma è necessario considerare le seguenti coppie di carte.
| Asso | re |
| due | cavaliere |
| tre | donna |
| quattro | sette |
| cinque | sei |
Alla prima estrazione le carte sono 40 e le possibili estrazioni sono quindi 40. Alla seconda estrazione, poiché si possiede una carta in mano, le possibili estrazioni sono 39. In questo caso, dunque, le estrazioni sono dipendenti l’una dall’altra, nel senso che la probabilità della seconda pescata dipende dal fatto che dopo la prima pescata non è stata rimessa la carta nel mazzo.
Ogni asso è presente nel mazzo quattro volte, ogni re è presente nel mazzo quattro volte e così via. In questo caso infatti il problema non fa distinzioni di seme.
La probabilità di pescare, per esempio, un asso è:
\(P(asso)=\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)
Supponendo poi che la pescata successiva, senza rimettere l’asso nel mazzo, sia quella di un re la probabilità è:
\(P(re|asso)=\frac{4}{39}\)
Questa casistica si propone per tutti gli scenari proposti nella tabella, rappresentante i casi di interesse.
Perciò, supponendo di avere una pescata x e la successiva pescata y si può dire che:
\(P(x)=\frac{1}{10}\)
\(P(x|y)=\frac{4}{39}\)
La probabilità che i due eventi si verificano entrambi è dunque data dalla probabilità composta dei due eventi e cioè:
\(P(x\cap y)=P(x)P(x|y)=\frac{1}{10} \cdot \frac{4}{39}=\)
\(=\frac{2}{195}=1,02%\)
Punto 2
Nel secondo punto la prima carta viene rimessa nel mazzo, in questo caso la probabilità associata alla seconda pescata è esattamente uguale a quella che si avrebbe se non si fosse pescato niente. Gli eventi delle due pescate non si influenza l’un l’altra, sono indipendenti.
La probabilità di pescare, per esempio, un asso è:
\(P(asso)=\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)
Supponendo poi che la pescata successiva, a seguito del reinserimento della carta nel mazzo, sia quella di un re la probabilità è:
\(P(re)=\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)
Perciò supponendo di avere una pescata x e la successiva pescata y si può dire che:
\(P(x)=\frac{1}{10}\)
\(P(y)=\frac{1}{10}\)
La probabilità che i due eventi si verificano entrambi è dunque data dalla probabilità composta dei due eventi e cioè:
\(P(x\cap y)=P(x)P(y)=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=1%\)