Calcolo dell’intensità del campo magnetico in tre fili su un triangolo

Testo

Tre fili paralleli lunghi 100 m sono disposti in modo da passare per i vertici di un triangolo equilatero di lato 4 cm e vengono percorsi da una corrente concorde di 5 A.

• Calcola il valore dell’intensità del campo magnetico nel punto medio di uno dei lati.
• Spiega in sole 3 righe il motivo per cui nel baricentro del triangolo il campo magnetico è nullo.

Soluzione

2.1        Punto 1

Secondo quanto affermato dal problema i fili sono paralleli e passanti per i vertici di un triangolo equilatero. Una rappresentazione della situazione è data dalla disposizione spaziale dei fili proposta in Figura 1.

Figura del triangolo equilatero

Il campo magnetico generato dai fili in un punto medio di un lato, scelto a caso, può essere calcolato considerando che ci sono tre vettori campo magnetico che entrano in gioco, ciascuno dei quali viene generato dai tre fili.

Nel punto medio del lato considerato, il campo magnetico prodotto dal filo 1, \(B_1\), si calcola usando una distanza \(r\) pari all’altezza del triangolo equilatero. La formula è:

\(B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}\)

La distanza \(r\) coincide con l’altezza del triangolo equilatero. Indicando con \(\ell\) il lato, si ottiene:

\(r=\ell\cos 30^\circ=(4\times10^{-2}\,\mathrm{m})\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\times10^{-2}\,\mathrm{m}\)

Quindi:

\(B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m})(5\,\mathrm{A})}{2\pi(2\sqrt{3}\times10^{-2}\,\mathrm{m})}\approx2{,}887\times10^{-5}\,\mathrm{T}\)

I contributi dei fili 2 e 3, \(\vec{B}_2\) e \(\vec{B}_3\), hanno uguale modulo e verso opposto nel punto considerato; la loro somma vettoriale è quindi nulla. Il campo risultante ha modulo \(B\approx2{,}9\times10^{-5}\,\mathrm{T}\).

      Punto 2

Il ragionamento sul campo nullo al centro del triangolo..

Segue da una considerazione geometrica dei vettori magnetici al centro del triangolo.

Come si può notare dalla Figura 2 (triangolo)

i vettori al centro hanno tutti modulo uguale. Perché calcolati tutti alla stessa distanza dai fili percorsi dalla stessa corrente e inoltre formano tra loro angoli di 120°. Tre vettori in questa posizione formano tra loro una risultante nulla, perché scelto un vettore qualunque e sulla base di esso fissata la direzione, la proiezione degli altri su tale direzione è sempre, per costruzione geometrica, la metà della base di un triangolo equilatero.

Perciò è evidente che, scelto un vettore e sulla basa di questo fissata una direzione, verrebbero sempre sommati tre vettori di cui due sono a verso concorde e di modulo pari alla metà di quello a verso opposto. Per quel che riguarderebbe le altre due componenti, perpendicolari alla direzione scelta, esse sarebbero sulla stessa direzione, con stesso modulo ma verso opposto fornendo risultato nullo.

Come calcolare il valore dell’intensità del campo magnetico in tre fili ai vertici di un triangolo

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