Quale è la differenza di potenziale ai capi del condensatore?

Il seguente esercizio è stato tratto dal libro “L’Amaldi per i licei scientifici blu 2”.

Testo

Il cannone elettronico di un tubo a raggi catodici produce elettroni con velocità di \( 0.65 \cdot 10 ^ {7} m/s \). Il fascio prodotto attraversa le piastre di un condensatore e gli elettroni subiscono una deviazione dall’asse orizzontale di \( 2.9 mm \). Le armature del condensatore sono lunghe \( 7.0 cm \) e distano tra loro di \( 6.0mm \)

Calcola la differenza di potenziale che è applicata al condensatore.

Soluzione scritta

Nella figura seguente è mostrato il condensatore, il percorso che avrebbe effettuato l’elettrone in assenza di campo (in rosso) e il percorso che invece ha realmente effettuato l’elettrone per via della presenza del campo (verde).

Il tempo che l’elettrone impiega per passare al punto A al punto B è lo stesso che impiega per passare dal punto A al punto C. Tale lasso di tempo viene calcolato tramite il dato della velocità e dello spazio percorso:

\( t_{AC} = \frac {7\cdot 10^{-2} m}{0.65 \cdot 10^7 m/s} \approx 10.77 \cdot 10^ {-9} s \)

Per calcolare l’accelerazione a cui è sottoposto l’elettrone si considera quanto segue:

\( x_{BC} = \frac{1}{2}a t^2\)

In cui \( x_{BC}\) rappresenta lo spostamento verticale netto dell’elettrone, equivalente alla distanza che intercorre dal punto B al punto C.

Quindi:

\( a = \frac{2 \cdot x_{BC}}{t^2} = \frac{2 \cdot 2.9 \cdot 10^{-3} m}{(10.77 \cdot 10^{-9} s)^2} \approx 5 \cdot 10^{13}\frac{m}{s^2}\)

Per scoprire la forza alla quale è sottoposto l’elettrone si considera quanto segue:

\( F = ma = 9.11 \cdot 10^{-31} kg \cdot 5 \cdot 10^{13}\frac{m}{s^2} \approx 4.55 \cdot 10^{-17} N \)

Calcolando il campo elettrico:

\( E = \frac{F}{q} = \frac{4.55 \cdot 10^-{17} N}{-1.602 \cdot 10^{-19}C} \approx -284.3 \frac{N}{C} \)

Per concludere si considera che:

\( \delta V = -Ed = -(-284.3 \frac{N}{C})(6\cdot 10^{-3} m) \approx 1.7 V \)

Perciò la tensione ai capi del condensatore è \( 1.7 V \).

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