Quale è la differenza di potenziale ai capi del condensatore?

Il seguente esercizio è stato tratto dal libro “L’Amaldi per i licei scientifici blu 2”.

Testo

Il cannone elettronico di un tubo a raggi catodici produce elettroni con velocità di \( 0.65 \cdot 10 ^ {7} m/s \). Il fascio prodotto attraversa le piastre di un condensatore e gli elettroni subiscono una deviazione dall’asse orizzontale di \( 2.9 mm \). Le armature del condensatore sono lunghe \( 7.0 cm \) e distano tra loro di \( 6.0mm \)

Calcola la differenza di potenziale che è applicata al condensatore.

Soluzione scritta

Nella figura seguente è mostrato il condensatore, il percorso che avrebbe effettuato l’elettrone in assenza di campo (in rosso) e il percorso che invece ha realmente effettuato l’elettrone per via della presenza del campo (verde).

In figura uno, viene rappresentato il condensatore, in verde il percorso dell'elettrone in presenza di campo elettrico, in rosso il percorso dell'elettrone in assenza di campo elettrico.
Figura 1. Condensatore. In verde il percorso dell’elettrone in presenza di campo elettrico, in rosso il percorso dell’elettrone in assenza di campo elettrico.

Il tempo che l’elettrone impiega per passare al punto A al punto B è lo stesso che impiega per passare dal punto A al punto C. Tale lasso di tempo viene calcolato tramite il dato della velocità e dello spazio percorso:

\( t_{AC} = \frac {7\cdot 10^{-2} m}{0.65 \cdot 10^7 m/s} \approx 10.77 \cdot 10^ {-9} s \)

Per calcolare l’accelerazione a cui è sottoposto l’elettrone si considera quanto segue:

\( x_{BC} = \frac{1}{2}a t^2\)

In cui \( x_{BC}\) rappresenta lo spostamento verticale netto dell’elettrone, equivalente alla distanza che intercorre dal punto B al punto C.

Quindi:

\( a = \frac{2 \cdot x_{BC}}{t^2} = \frac{2 \cdot 2.9 \cdot 10^{-3} m}{(10.77 \cdot 10^{-9} s)^2} \approx 5 \cdot 10^{13}\frac{m}{s^2}\)

Per scoprire la forza alla quale è sottoposto l’elettrone si considera quanto segue:

\( F = ma = 9.11 \cdot 10^{-31} kg \cdot 5 \cdot 10^{13}\frac{m}{s^2} \approx 4.55 \cdot 10^{-17} N \)

Calcolando il campo elettrico:

\( E = \frac{F}{q} = \frac{4.55 \cdot 10^-{17} N}{-1.602 \cdot 10^{-19}C} \approx -284.3 \frac{N}{C} \)

Per concludere si considera che:

\( \delta V = -Ed = -(-284.3 \frac{N}{C})(6\cdot 10^{-3} m) \approx 1.7 V \)

Perciò la tensione ai capi del condensatore è \( 1.7 V \).

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