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Problemi sui triangoli con soluzione e spiegazione seconda parte

1         Esercizio 1

1.1         Testo

Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.

Figura 1 Triangolo del problema

1.2         Soluzione

Per calcolare l’angolo \( \gamma\) si procede come segue:

\( \gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta=77^{\circ}\)

Ora vogliamo trovare \( \overline{A C}\) e \(\overline{A B}\). Per poterlo fare si procede come segue.

Prima di tutto si considera che:

\( \overline{AC} \cdot \cos (\gamma)+\overline{AB} \cdot \cos (\beta)= \overline{B C}\)

Inoltre si può osservare che:

\( \overline{AC} \cdot \sin(\gamma) = \overline{AB} \cdot \sin (\beta)\)

Spiegato dalla figura seguente.

Figura 2 Osservazione sul calcolo del segmento

Perciò per trovare il valore di basta risolvere il seguente sistema:

\( \left \{ \begin{matrix} \overline{AC} \cdot \cos (\gamma)+\overline{AB} \cdot \cos (\beta)= \overline{B C} \\ \overline{AC} \cdot \sin(\gamma) = \overline{AB} \cdot \sin (\beta) \end{matrix} \right.\)

\( \left \{ \begin{matrix} \overline{AC} \cdot \cos (77)+\overline{AB} \cdot \cos (70)= 20 \\ \overline{AC} \cdot \sin(77) = \overline{AB} \cdot \sin (70) \end{matrix} \right.\)

\( \left \{ \begin{matrix} \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \cdot \cos (77)+\overline{AB} \cdot \cos (70)= 20 \\ \overline{AC} = \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \end{matrix} \right.\)

\( \left \{ \begin{matrix} \overline{AB}= \frac{20}{\frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \cos (77) + \cos (70) } \\ \overline{AC} = \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \end{matrix} \right.\)

\(\left \{ \begin{matrix} \overline{AB} \approx 35.78 \\ \overline{AC} \approx 34.5 \end{matrix} \right.\)

2         Esercizio 6

2.1         Testo

In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.

Figura 3 Immagine che rappresenta il trapezio del problema

2.2         Soluzione

Siccome il trapezio è isoscele si sa che \( \overline {AD} = \overline {BC}\)

Chiamiamo la proiezione di \(C\) su \( \overline {AB}\) come \(C’\), si sa che l’angolo \( \widehat{C C^{\prime} B}=90^{\circ}\), quindi il triangolo è rettangolo in \(C’\).

Per il triangolo \( CC^{\prime} B\) vale che:

\(\overline{C B} \cdot \sin 70^{\circ}=12 \rightarrow\)

\( \overline{C B}=\frac{12}{\sin 70^{\circ}} \approx 12.77\)

Da cui si può ricavare che:

\( \overline{C^{\prime} B}=\overline{C B} \cdot \cos 70^{\circ} \approx 4.1\)

E quindi:

\( \overline{A B}=\overline{A D^{\prime}}+\overline{D^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} B}\)

In cui \( D^{\prime}\) è la proiezione di \( D\) su \( \overline{AB}\)

Si può constatare che \( \overline{A D^{\prime}}=\overline{C^{\prime} B}\).

Siccome la lunghezza della base minore è pari a \( \overline{ D^{\prime} C^{\prime}}\) si effettua la seguente operazione:

\(\overline{D^{\prime} C^{\prime}}=\overline{A B}-2 \cdot \overline{C^{\prime} B}=40-2 \cdot 4.1=31.8\)

Quindi il perimetro del trapezio è pari a:

\( P_{t p z}=40+12.77+12.77+31.8 \approx 95.34\)

E l’area del trapezio è pari a:

\( A_{t p z}=\frac{(40+31.8) \cdot 12}{2} \approx 430.8\)