In questo articolo verranno svolti tre problemi inerenti alla trigonometria, con le relative figure proposte nell’immagine in basso
1 Esercizio 1 di Trigonometria
1.1 Testo
Determina l’elemento incognito nelle seguenti figure:

1.2 Soluzione
1.2.1 Punto a
L’incognita richiesta è \( \overline{BC}\).
Per risolvere il punto si può osservare che:
\(\overline{B C} \cdot \cos \left(55^{\circ}\right)+\overline{C A} \cdot \cos \left(85^{\circ}\right)=12\)
Inoltre si può osservare che:
\(\overline{B C} \cdot \sin \left(55^{\circ}\right)=\overline{C A} \cdot \sin \left(85^{\circ}\right)\)
Perciò per trovare il valore di \(\overline{BC}\)basta risolvere il seguente sistema:
\( \left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \overline{C A} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{B C} \cdot \sin (55^{\circ}) = \overline{C A} \cdot \sin{ (85^{\circ})} \end{matrix} \right.\)
Da cui:
\( \left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{C A} = \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \end{matrix} \right.\)
E quindi:
\(\overline{B C} = \frac{12}{\cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \cdot \cos{ (85^{\circ})}} \approx 18.6 cm\)
1.2.2 Punto b
L’incognita richiesta è \(\cos{(\alpha)}\) .
Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:
\( 14^2 = 10^2 + 12^2 – 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos{(\alpha)}\)
Quindi:
\( \cos \alpha=-\frac{14^{2}-10^{2}-12^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 12}=0.2\)
1.2.3 Punto c
L’incognita è \( r\).
Per il teorema della corda:
\( \overline{A B}=2 r \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)\)
Quindi:
\( r=\frac{10}{2 \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)} \approx 8.12\)
2 Esercizio 2 di Trigonometria
2.1 Testo
Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati: a=20; b=24; c =14.
2.2 Soluzione
Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos \alpha\)
Quindi:
\( 20^{2}=24^{2}+14^{2}-2 \cdot 24 \cdot 14 \cdot \cos \alpha\)
E:
\( \cos \alpha=-\frac{20^{2}-24^{2}-14^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 14} \approx 0.55\)
Da cui:
\( \alpha=\arccos (0.55) \approx 56.63^{\circ}\)
Per trovare l’angolo \( \beta\) invece si considera che:
\( b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta\)
Quindi:
\( 24^{2}=20^{2}+14^{2}-2 \cdot 20 \cdot 14 \cdot \cos \beta\)
E:
\( \cos \beta=-\frac{24^{2}-20^{2}-14^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 14} \approx 0.036\)
Da cui:
\( \beta=\arccos (0.036) \approx 87.93^{\circ}\)
Invece per calcolare \( \gamma\) si considera la seguente somma:
\(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\)
E quindi:

3 Esercizio 3 di Trigonometria
3.1 Testo
Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i seguenti elementi: a=20; b=28; γ =14°.
3.2 Soluzione
Per trovare il terzo lato si osserva che:
\( c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos \gamma\)
Quindi:
\( c=\sqrt{20^{2}+28^{2}-2 \cdot 20 \cdot 28 \cdot \cos (14)} \approx 9.86\)
Per trovare l’angolo \( \beta\) si osserva che:
\( b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta\)
E quindi:
\( \cos \beta=-\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2 a c}=-\frac{28^{2}-20^{2}-9.86^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 9.86} \approx 0.73\)
Da cui:
\( \beta=\arccos (0.44) \approx 43.11^{\circ}\)
Invece per calcolare \( \gamma\) si considera la seguente somma:
\(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\)
E quindi:

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