Significato geometrico della derivata: retta tangente

1. Coefficiente angolare e retta tangente

Il significato geometrico della derivata si comprende a partire dal coefficiente angolare di una retta. Infatti, la derivata in un punto descrive la pendenza della retta tangente al grafico, quando questa è definita. Prima vediamo come si calcola la pendenza; poi introduciamo il limite del rapporto incrementale.

Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano è un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).

Il valore del coefficiente angolare è:

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \)

In cui:

• è il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
• la quantità \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\), dati due punti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) , è uguale a:

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare è un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:

Dalla Figura 1 si può capire come il coefficiente angolare è un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di \( x_2-x_1\) e \( y_2-y_1 \). Il coefficiente angolare quindi non è un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare è indicativo di quanto la retta è pendente rispetto all’asse delle ascisse.

2. Definizione di derivata

2.1 Argomentazione iniziale

Si dice che la derivata di una funzione \( f(x) \) calcolata in un generico punto \( x_0 \) è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \).

La derivata è un limite e anche essa è definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’è la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.

2.2 Definizione formale

Sia data una funzione \( f(x) \) definita in un intorno di \( x_0 \). Si dice che \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \) se esiste ed è finito il limite:

\( {f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

In cui \( h=x-x_0 \).

2.3 Discussione

Dire che il limite che definisce la derivata è finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione \( f(x) \) per un valore di \( x \) pari a \( x_0 \).

Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata può essere espresso bene graficamente come in Figura 2.

I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioè l’avvicinarsi al valore desiderato \( x_0 \), infatti per \( {h \to 0} \) si ha che la quantità \( x_0+h \) tende a \( x_0 \). Come si può notare più il punto rosso si avvicina al punto blu più la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioè quando il punto rosso è infinitamente vicino al punto blu.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) non esiste allora non può esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) si presenta come una cuspide allora la funzione non è derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra è diverso, Figura 3).

Si può dunque dire che:

• Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua
• Se una funzione è continua in un punto non necessariamente è derivabile
• Una funzione discontinua in un punto non è derivabile in quel punto
• Se una funzione non è derivabile in un punto allora può essere:
  • discontinua in quel punto
  • continua ma a cuspide

Approfondimento: dalla derivata all’integrale

Dopo aver studiato il rapporto incrementale e la retta tangente, puoi consultare anche la guida sull’integrale indefinito e le primitive, per comprendere il rapporto tra derivazione e integrazione.

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