Soluzione del problema delle quattro cariche puntiformi ai vertici di un quadrato

Problema

Quattro cariche puntiformi sono disposte ai vertici di un quadrato. La distanza tra ciascuna carica e il centro del quadrato è di \( 11 cm \). Una delle 4 cariche è negativa è ha carica \( -2.0\cdot 10^{-9}C \). Le altre tre cariche sono positive di cui due di loro, poste a due vertici opposti del quadrato, hanno carica \( 5.0\cdot 10^{-9}C \) e l’altra ha carica \( 3.0\cdot 10^{-9}C \)

1. Disegna i vettori campo elettrico generati da ciascuna delle quattro cariche nel centro del quadrato
2. Mostra che due di questi campi elettrici si annullano a vicenda
3. Calcolare il valore della somma degli altri due

Vuoi dare un ripasso veloce ai vettori prima di iniziare con la soluzione sull’esercizio?

Cos'è un vettore?

Cosa sono le componenti di un vettore nel piano?

Formule utili

Modulo vettore campo elettrico generato da una carica puntiforme:

\( \left \| \vec{E} \right \|=K\frac{\left | Q \right |}{r^{2}}\)

Soluzione

Per risolvere il primo punto punto bisogna tenere in considerazione come, per convenzione, le cariche elettriche generano il campo elettrico intorno a sé. Ricordiamo quindi che il campo elettrico generato da una carica positiva è “uscente” dalla carica stessa, come rappresentato in Figura 1.

Invece il campo elettrico generato da una carica negativa risulta “entrante” rispetto alla carica stessa, come rappresentato in Figura 2.

La soluzione al punto primo è quindi quello rappresentato in Figura 3 proprio qui sotto.

Come si può vedere i vettori generati dalle 4 cariche nel centro del quadrato risultano essere 4.

Si è scelto di attribuire il colore rosso alle cariche positive e il colore blu alle cariche negative.

Punto Secondo

Guardando la Figura 3, dalla carica di colore blu (quindi negativa), in senso orario, la numerazione delle cariche è la seguente 1, 2, 3, 4. Le cariche che hanno uguale vettore campo elettrico  che si annulla al centro del quadrato sono 2 e 4.

Punto Terzo

vettore campo elettrico generato dalla carica 1 è entrante rispetto alla carica 1 stessa mentre il vettore generato dalla carica 3 è uscente rispetto alla carica 3 stessa. Per questo motivo le cariche generano due vettori campi elettrici con verso concorde nel punto centrale del quadrato. A questo punto è chiaro che i moduli dei due vettori vanno sommati.

Deve essere:

\( \left | \vec{E_{1}} \right |=K_{1}\frac{\left | Q_{1} \right |}{r_{1}^{2}}\)

E anche:

\( \left | \vec{E_{3}} \right |=K_{3}\frac{\left | Q_{3} \right |}{r_{3}^{2}}\)

Dove:

\( r_{1} = r_{3} \quad \wedge \quad K_{1} = K_{3} \)

Quindi:

\( \left | \vec{E_{1}} \right |+\left | \vec{E_{3}} \right |=K\frac{\left | Q_{1} \right |+\left | Q_{3} \right |}{r^{2}} \)

E allora:

In definitiva per risolvere il problema delle cariche:

\( \left | \vec{E_{1}} \right |+\left | \vec{E_{3}} \right |=3.7 \cdot10^{3}\frac{N}{C} \)