di: Francesco AtzeniPubblicato il:

Combinazioni lineari e indipendenza lineare in R³

Combinazioni lineari e indipendenza lineare in R³ sono tra gli argomenti più importanti dell’algebra lineare e della geometria dei vettori. In questo articolo viene mostrato come verificare se un vettore appartiene allo span di altri vettori e come dimostrare l’indipendenza lineare attraverso sistemi lineari e determinanti. Il contenuto è pensato per chi cerca un esercizio svolto su combinazioni lineari, spazio generato e indipendenza lineare con spiegazione chiara, metodo rigoroso e applicazione passo dopo passo.

Combinazioni lineari e indipendenza lineare in R³

1.1       Abstract

In questo articolo analizziamo due problemi fondamentali di algebra lineare: stabilire se un vettore è combinazione lineare di altri vettori e dimostrare che alcuni vettori sono linearmente indipendenti. Il punto non è memorizzare una procedura meccanica, ma riconoscere quale domanda matematica si sta ponendo. Nel primo caso si verifica l’appartenenza di un vettore allo spazio generato da altri vettori. Nel secondo caso si controlla se una relazione lineare nulla ammette soltanto la soluzione banale.

Il metodo usato è unico: si introducono coefficienti reali incogniti, si scrive la combinazione lineare, si confrontano le coordinate e si risolve il sistema lineare che ne deriva. La parte importante è interpretare il risultato del sistema: se il sistema è compatibile, il vettore appartiene allo span; se l’unica relazione lineare nulla è quella con tutti i coefficienti nulli, i vettori sono linearmente indipendenti.

Scopo dello studente: dopo questo articolo devi saper trasformare una frase del tipo “è combinazione lineare?” in un sistema sui coefficienti, e una frase del tipo “sono linearmente indipendenti?” in una relazione lineare nulla. La soluzione non viene presentata come sequenza da copiare, ma come metodo riusabile.

USO DEL DOCUMENTO — Prima lettura: segui il ragionamento senza saltare i sistemi. Seconda lettura: copri le soluzioni e prova a ricostruire coefficienti e determinante. Verifica minima: devi saper spiegare perché il vettore con terza coordinata non nulla non può essere generato dai due vettori dati.

1.2       Dati didattici dell’esercizio sulle combinazioni lineari e indipendenza lineare in \(R^3\)

CampoValore
Argomento principaleCombinazioni lineari, span, indipendenza lineare
Spazio di lavoro\( \mathbb{R}^3\) e spazio vettoriale reale generico \(V\)
PrerequisitiSomma di vettori, prodotto scalare-vettore, sistemi lineari elementari
Obiettivo didatticoTrasformare un problema sui vettori in un sistema sui coefficienti
Output attesoSoluzione guidata, verifica finale, errori frequenti, variante simile

PREREQUISITI — Se non distingui ancora vettore, scalare, combinazione lineare e sistema lineare, fermati qui: l’esercizio non richiede calcoli lunghi, ma richiede controllo del linguaggio. Ogni coefficiente incognito misura quanto stai usando uno dei vettori disponibili.

1.3       Cosa devi sapere prima

Una combinazione lineare di alcuni vettori \(v_1 \; ….\; v_k\) è un vettore ottenuto moltiplicando ciascun vettore per uno scalare reale e sommando i risultati:

α1v1+α2v2+⋯+αkvk,α1,…,αk∈ℝ\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_k v_k,\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{R}

Lo spazio generato dai vettori \(v_1\) …. , \(v_k\) indicato con span \((v_1 …. v_k) \) è l’insieme di tutte le loro combinazioni lineari.

span⁡(v1,…,vk)={α1v1+⋯+αkvk:αi∈ℝ}\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k) = \left\{ \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k : \alpha_i \in \mathbb{R} \right\}

i vettori \(u_1\), …. \(u_k\). sono linearmente indipendenti se l’equazione

λ1u1+λ2u2+⋯+λkuk=0\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \cdots + \lambda_k u_k = 0

Ha come unica soluzione

λ1=λ2=⋯=λk=0\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_k = 0

Se esiste almeno una soluzione non banale, cioè almeno un coefficiente diverso da zero, allora i vettori sono linearmente dipendenti.

Come usare ChatGPT per questo tipo di esercizi

ChatGPT può essere utile per esercizi su combinazioni lineari e indipendenza lineare, ma non dovrebbe essere usato solo per ottenere il risultato finale. Il modo corretto è usarlo per controllare il metodo.

Per le combinazioni lineari, bisogna controllare che venga impostata la domanda corretta:

w∈span⁡(v1,…,vk)?w \in \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)\,?

cioé:

w=α1v1+⋯+αkvk,α1,…,αk∈ℝw = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k,\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{R}

Per l’indipendenza lineare, bisogna controllare che venga usata la relazione:

λ1u1+λ2u2+λ3u3=0\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0

E che si dimostri che l’unica soluzione è:

λ1=λ2=λ3=0\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0

Dopo una risposta di ChatGPT, verifica sempre:

  1. i dati sono stati copiati correttamente;
  2. la definizione usata è quella giusta;
  3. il sistema è impostato bene;
  4. i calcoli sono coerenti;
  5. il risultato viene verificato;
  6. la conclusione segue davvero dai passaggi.

2    Problema 1 — Verificare se alcuni vettori sono combinazioni lineari

Consideriamo i vettori

v1=(1,1,0),v2=(1,2,0)v_1 = (1,1,0),\qquad v_2 = (1,2,0)

Stabiliamo se i seguenti vettori appartengono a span \((v_1, v_2)\):

a=(2,−1,0),b=(1,1,0),c=(0,0,0),d=(0,0,1)a = (2,-1,0),\qquad b = (1,1,0),\qquad c = (0,0,0),\qquad d = (0,0,1)

2.1 Strategia risolutiva

DOMANDA GUIDA — Non chiederti “il vettore assomiglia agli altri?”. Chiediti invece: esistono due numeri reali \( \alpha\) e \( \beta\) che, moltiplicati per i vettori disponibili e sommati, ricostruiscono esattamente il vettore richiesto?

Per verifica se un vettore \(w\) è combinazione lineare di \(v_1\) e \(v_2\), dobbiamo cercare due coefficienti reali \( \alpha\) e \( \beta\) tali che

w=αv1+βv2w = \alpha v_1 + \beta v_2

Calcoliamo prima la combinazione lineare generica:

α(1,1,0)+β(1,2,0)=(α+β,α+2β,0)\alpha(1,1,0) + \beta(1,2,0) = (\alpha + \beta,\alpha + 2\beta,0)

IDEA CHIAVE — La combinazione generica contiene spesso più informazione della singola soluzione. Qui mostra subito un vincolo strutturale: la terza coordinata rimane sempre nulla. Questo permette di escludere alcuni vettori senza risolvere sistemi inutili.

Questa formula contiene già l’informazione essenziale: qualunque combinazione lineare di \(v_1\) e \(v_2\) ha terza coordinata uguale a zero. Quindi tutti i vettori ottenibili hanno forma \( (x,y,0)\).

Ne segue che:

span⁡(v1,v2)={(x,y,0):x,y∈ℝ}\operatorname{span}(v_1,v_2)=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}

Poiché i primi due coefficienti possono generare qualunque coppia \((x,y)\) risolvendo un sistema lineare compatibile, in questo caso lo span coincide con il piano \(z=0\);

span⁡(v1,v2)={(x,y,0):x,y∈ℝ}\operatorname{span}(v_1,v_2)=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}

METODO — Per ogni vettore candidato, il test è sempre lo stesso: scrivi l’uguaglianza vettoriale, confronta le coordinate, risolvi il sistema. Se il sistema ha almeno una soluzione, il vettore appartiene allo span; se il sistema è incompatibile, non appartiene allo span.

2.2 Verifica del vettore \( a= (2, -1,0)\)

Importiamo l’equazione:

(2,−1,0)=α(1,1,0)+β(1,2,0)(2,-1,0)=\alpha(1,1,0)+\beta(1,2,0)

Usando la combinazione generica:

(2,−1,0)=(α+β,α+2β,0)(2,-1,0)=(\alpha+\beta,\alpha+2\beta,0)

Confrontando le coordinate otteniamo il sistema

{α+β=2α+2β=−1\left\{ \begin{aligned} \alpha + \beta &= 2 \\ \alpha + 2\beta &= -1 \end{aligned} \right.

Sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

(α+2β)−(α+β)=−1−2(\alpha+2\beta)-(\alpha+\beta)=-1-2

Quindi:

β=−3\beta=-3

Sostituendo nella prima equazione:

α−3=2\alpha-3=2

Da cui

α=5\alpha=5

Pertanto

(2,−1,0)=5(1,1,0)−3(1,2,0)(2,-1,0)=5(1,1,0)-3(1,2,0)

Il vettore \(a\) è una combinazione lineare di \(v_1\) e \(v_2\).

2.3 Verifica del vettore \(b=(1,1,0)\)

Il vettore \(b\) coincide con \(v_1\). Perciò possiamo scrivere direttamente

\((1,1,0)=1 \cdot (1,1,0)+0 \cdot (1,2,0)\)

Quindi

b∈span⁡(v1,v2)b \in \operatorname{span}(v_1,v_2)

2.4 Verifica del vettore \(c=(0,0,0)\)

Il vettore nullo appartiene sempre allo spazio generato da qualunque insieme di vettori, perché si ottiene scegliendo tutti i coefficienti uguali a zero:

(0,0,0)=0⋅(1,1,0)+0⋅(1,2,0)(0,0,0)=0\cdot(1,1,0)+0\cdot(1,2,0)

Quindi

c∈span⁡(v1,v2)c \in \operatorname{span}(v_1,v_2)

CONTROLLO RAPIDO — Prima di calcolare, cerca un vincolo invariabile. In questo caso tutte le combinazioni hanno forma \(x,y,0)\) . Ogni vettore con terza coordinata diversa da zero è automaticamente escluso.

2.5 Verifica del vettore \(d=(0,0,1)\)

In questo caso dovremmo trovare:

α,β∈ℝ\alpha,\beta \in \mathbb{R}

tali che:

(0,0,1)=α(1,1,0)+β(1,2,0)(0,0,1)=\alpha(1,1,0)+\beta(1,2,0)

Ma il membro destro è sempre della forma:

(α+β,α+2β,0)(\alpha+\beta,\alpha+2\beta,0)

La terza coordinata è sempre \(0\). Il vettore \(d\) ha invece terza coordinata uguale a \(1\). Dunque il confronto delle terze coordinate darebbe

\(0=1\)

che è una contraddizione. Pertanto

(0,0,1)∉span⁡(v1,v2)(0,0,1)\notin \operatorname{span}(v_1,v_2)

2.6 Conclusione del problema 1

VettoreAppartiene a \(span \; (v_1,v_2)\)?Coefficienti / motivo
(2,1,-1,0)Sì\(5v_1-3v_2\)
(1,1,0)Sì\(1v_1+0v_2\)
(0,0,0)Sì\(0v_1+0v_2\)
(0,0,1)Noogni combinazione ha terza coordinata nulla

Il criterio decisivo non è la somiglianza visiva tra vettori, ma la compatibilità del sistema sui coefficienti.

3 Problema 2 – Dimostrare l’indipendenza lineare di tre vettori

ATTENZIONE — Il fatto che \(e_1,e_2,e_3\)siano indipendenti non dimostra automaticamente che qualunque terna costruita a partire da essi sia indipendente. Bisogna controllare se la trasformazione dai vettori \(e_i\)ai vettori \(u_i\) ha introdotto una relazione lineare non banale.

Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale. Supponiamo che i vettori.

\(e_1, e_2, e_3\)

siano linearmente indipendenti. Definiamo

u1=e1+e2,u2=2e1+e2+e3,u3=e1−e2+e3.\begin{aligned} u_1 &= e_1 + e_2, \\ u_2 &= 2e_1 + e_2 + e_3, \\ u_3 &= e_1 – e_2 + e_3. \end{aligned}

Vogliamo dimostrare che \(u_1,u_2,u_3\) sono linearmente indipendenti.

3.1 Strategia risolutiva

PROCEDURA CONTROLLATA — La definizione di indipendenza lineare impone il punto di partenza: una combinazione lineare uguale al vettore nullo. La dimostrazione è completa solo se da questa relazione si ricava che tutti i coefficienti sono zero.

Per dimostrare l’indipendenza lineare partiamo dalla relazione lineare nulla:

Per dimostrare l’indipendenza lineare partiamo dalla relazione lineare nulla:

λ1u1+λ2u2+λ3u3=0\lambda_1 u_1+\lambda_2 u_2+\lambda_3 u_3=0

Dobbiamo dimostrare che l’unica possibilità è:

λ1=λ2=λ3=0\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0

Sostituiamo le definizioni dei tre vettori:

λ1(e1+e2)+λ2(2e1+e2+e3)+λ3(e1−e2+e3)=0\lambda_1(e_1+e_2)+\lambda_2(2e_1+e_2+e_3)+\lambda_3(e_1-e_2+e_3)=0

Ora raccogliamo i coefficienti di \(e_1\) , \(e_2\) ed \(e_3\).

3.2 Svolgimento guidato

Espandiamo:

λ1e1+λ1e2+2λ2e1+λ2e2+λ2e3+λ3e1−λ3e2+λ3e3=0\lambda_1 e_1+\lambda_1 e_2+2\lambda_2 e_1+\lambda_2 e_2+\lambda_2 e_3+\lambda_3 e_1-\lambda_3 e_2+\lambda_3 e_3=0

Raggruppiamo rispetto a \(e_1\) , \(e_2\) ed \(e_3\) otteniamo

(λ1+2λ2+λ3)e1+(λ1+λ2−λ3)e2+(λ2+λ3)e3=0(\lambda_1+2\lambda_2+\lambda_3)e_1+(\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3)e_2+(\lambda_2+\lambda_3)e_3=0

Poiché \(e_1, \; e_2, \; e_3\) sono linearmente indipendenti, l’unico modo in cui questa combinazione lineare può essere uguale al vettore nullo è che tutti i coefficienti siano nulli:

{λ1+2λ2+λ3=0λ1+λ2−λ3=0λ2+λ3=0\left\{ \begin{aligned} \lambda_1+2\lambda_2+\lambda_3 &= 0 \\ \lambda_1+\lambda_2-\lambda_3 &= 0 \\ \lambda_2+\lambda_3 &= 0 \end{aligned} \right.

Dalla terza equazione segue:

λ3=−λ2\lambda_3=-\lambda_2

Sostituiamo nella seconda equazione:

λ1+λ2−(−λ2)=0\lambda_1+\lambda_2-(-\lambda_2)=0

Quindi:

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Combinazioni lineari e indipendenza lineare in R³

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