La circonferenza è uno dei luoghi geometrici più affascinanti nel piano cartesiano, e la sua rappresentazione matematica può essere espressa in due forme: implicita ed esplicita. Questo articolo esplorerà le differenze tra queste due forme e fornirà un piccolo esempio per una migliore comprensione.
Forma Implicita della Circonferenza
La forma implicita nel piano cartesiano è quella che esprime la condizione di equidistanza dei punti della circonferenza dal suo centro. Se il centro ha coordinate \((x_c;y_c)\) e il raggio è \(r\), allora la forma implicita è data da:
\((x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\)
Questa equazione rappresenta il fatto che la distanza tra il centro della circonferenza e qualsiasi punto su di essa è uguale al raggio \(r\). Questo concetto può essere visualizzato immaginando un triangolo rettangolo con il punto sulla circonferenza, il centro della circonferenza e l’asse delle ascisse, e applicando il teorema di Pitagora.
Forma Esplicita della Circonferenza
La forma esplicita nel piano cartesiano è quella che esprime l’equazione di secondo grado in due variabili che descrive la circonferenza. Se il centro ha coordinate \((x_c;y_c)\) e il raggio \(r\), allora la forma esplicita è data da:
\(x^2+y^2+ax+by+c=0\)
Dove:
- \(a=2-x_c\)
- \(b=-2y_c\)
- \(c=x^2_c+y^2_c-r^2\)
La condizione per l’esistenza di una circonferenza in questa forma è che il discriminante dell’equazione si positivo, cioè \(a^2+b^2-4c >0 \). Questo assicura che l’equazione abbia soluzioni reali.
Esempio pratico:
Supponiamo di avre il centro della circonferenza in \((-3,4)\) e un raggio di \(r=5\). Possiamo scrivere l’equazioni in forma implicita ed esplicita.
La forma implicita è:
\((x+3)^2+(y-4)^2=25\)
Con un pò di accorgimenti si può poi raggiungere la forma esplicita:
\(x^2+6x+9+y^2-8y+16=25\)
\(x^2+y^2+6x-8y=0\)
Si può verificare che queste due equazioni sono equivalenti algebricamente oppure provando a disegnarle con GeoGebra.
La comprensione delle formule implicita ed esplicita è fondamentale per risolvere una vasta gamma di problemi geometrici e matematici. Queste formule aprono la strada a ulteriori studi sulla geometria analitica e sulla risoluzione di equazioni quadratiche.
Spero che questo articolo sia stato chiaro e utile per comprendere meglio le formule di questa figura geometrica nel piano cartesiano. Per ulteriori informazioni, puoi consultare le risorse elencate alla fine di questo articolo. Buon lavoro con i tuoi studi matematici!
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