Campo elettrico generato da un filo carico all’interno di un conduttore cavo

Prima di iniziare con l’esercizio sul campo elettrico generato da un filo carico all’interno di un conduttore cavo vi consigliamo alcuni prodotti :

Testo

Sia dato un filo di lunghezza infinita con una carica lineare \( \lambda_0\). Sapendo che \(R_1\) è il raggio interno del conduttore cavo e \(R_2\) è il raggio esterno del conduttore cavo, determina:

• il campo elettrico che il filo genera nello spazio vuoto tra filo e conduttore cavo;
• il campo elettrico all’interno del conduttore cavo;
• la densità lineare di carica che si distribuisce sul conduttore cavo nel raggio interno;
• la densità lineare di carica che si distribuisce sul conduttore cavo nel raggio interno.

Soluzione

Di seguito viene effettuata una rappresentazione in proiezione del filo dentro il conduttore cavo. La carica racchiusa nel volume cilindrico, delimitato dalla superficie tratteggiata in rosso, è \( \lambda_0 L\), di cui \( \lambda_0\) è la carica lineare del filo e \(L\) è la lunghezza del tratto di un filo che stiamo considerando.

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie tratteggiata deve essere, secondo il Teorema di Gauss, data da:

Cioè è l’integrale doppio di circuitazione del prodotto scalare tra campo elettrico e area sul volume delimitato dalla superficie \(S\) è direttamente proporzionale alla carica totale presente nel volume all’interno della superficie.

Nel nostro caso la superficie di Gauss scelta è il cilindro con bordo tratteggiato in rosso. Quindi ci sono due possibilità per il prodotto scalare \( \overrightarrow{E} d \overrightarrow{A}\):

• Nella superficie laterale del cilindro ha sempre coseno pari a 1, perché i due vettori sono paralleli con verso concorde;
• Nelle superfici di base non fornisce alcun contributo.

Il flusso totale della superficie cilindrica ha dunque contributo dovuto alla superficie laterale \(S_L\) del cilindro, che peraltro può essere calcolata come segue:

\(S_L=2 \pi r L\)

In cui:

\(r\) è il raggio del cilindro attraverso il quale si vuole calcolare il flusso;

\(L\) è la lunghezza del cilindro.

In pratica sappiamo che :

Per cui:

\(E(r) \cdot 2 \pi r L= \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

E allora:

\(E(r)= \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 L} \cdot \frac{1}{r}\)

In questo caso la carica \( Q_0\) nella regione delimitata è pari a:

\(Q_0= \lambda_0 L\)

E allora si ottiene:

\(E(r)= \frac{ \lambda_0}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r} \)

Con \(r < \; R_1\)

Quando invece andiamo a calcolare il campo elettrico all’interno del conduttore cavo dobbiamo considerare un volume come quello rappresentato nella figura seguente.

Se \(R_1 < r < R_2\) non può esserci campo elettrico in quanto siamo all’interno del conduttore.

\(E(r)=0\)

Con: \(R_1 <r<R2\)

Questo significa che la carica a distanza \(R_1\) deve essere uguale a quella che c’è sul filo, cioè:

\(Q_{R_{\perp}}=- \lambda_0 L\)

Da cui si deduce che:

\(\lambda_{R_{\perp}}=- \lambda_0\)

Cioè la densità lineare di carica sulla superficie interna del conduttore cavo è pari a \( – \lambda_0\). Siccome la carica su \(R_1\) è uguale a quella che c’è su \(R_2\) deve aversi:

\( \lambda_{R_2}= -\lambda_{R_1}\)

Ovvero:

\( \lambda_{R2}= \lambda_0\)