Come affrontare meglio l’equazione a singola variabile di primo e secondo grado

Un’equazione è una dichiarazione matematica che afferma l’uguaglianza tra due espressioni, separate da un segno di uguale. Solitamente, l’equazione include una o più variabili e l’obiettivo è quello di trovare i valori delle variabili che soddisfano l’equazione.

Di seguito trattiamo equazioni semplici a una variabile, per capire più nel dettaglio cosa sono e come ragionare per risolverle.

Facciamo un esempio di equazione facile:

Questa è un’equazione di primo grado in una incognita (infatti vi è una sola incognita e il grado massimo assunto dall’espressione a sinistra dell’uguale è 1) che chiede: “per quali valori di x la quantità a sinistra è uguale a zero?”.

La quantità \(x+1\) sarà uguale a zero quando \(x\) assumerà il valore \(-1\). Questo si può dimostrare sostituendo \(x\) con il valore \(-1\) nella quantità \(x+1\).

\(x+1=(-1)+1=0\)

Quindi, se \(x\) è uguale a \(-1\) , allora la quantità \(x+1\) sarà uguale a 0. Inoltre, non ci saranno altri valori di \x\) per cui la quantità \((x+1\) sarà uguale a \(0\), non può esserci un altro valore di \(x\) che rende la quantità a sinistra dell’uguale pari a \(0\).

Facciamo un altro esempio di equazione facile:

\(x^2=4\)

Questa è un’equazione di secondo grado in una incognita che chiede: “per quali valori di x la quantità a sinistra è uguale a 4?” Verrebbe da rispondere 2 ma in realtà anche -2 è soluzione accettabile. Le due soluzioni sono quindi:

\(x= \pm 2\)

Infatti:

\((-2)^2=2^2=4\)

Dalla precedente si capisce come un’equazione di secondo grado abbia due soluzioni.

Alle volte ci si può imbattere in questo problema:

\((x^2+3x+2)=0\)

Questa è un’equazione di secondo grado in una incognita che chiede: “per quali valori di x la quantità a sinistra è uguale a zero?” Se esistesse la possibilità di scomporre, in prodotto di polinomi, la quantità \((x^2+3x+2)\) allora per esempio si arriverebbe ad avere:

\((x^2+3x+2) \rightarrow F_1(x) \cdot F_2(x)\)

In cui:

• \(F_1(x)\) è un fattore ed è un polinomio dipendente da \(x\);
• \(F_2(x)\) è un fattore ed è un polinomio dipendente da \(x\);

Ma il prodotto di due fattori è uguale a zero quando almeno uno dei due è uguale a zero. Quindi quando \((x^2+3x+2)=0\) lo sarà anche \(F_1(x) \cdot F_2(x)\).

\((x^2+3x+2)=0 \rightarrow F_1(x) \cdot F_2(x)=0\)

I due fattori sono uguali rispettivamente a ( non trattiamo qui il metodo per ricavarli):

\(F_1(x)=(x+1)\)

\(F_2(x)=(x+2)\)

Per verificarlo possiamo osservare che:

Inoltre, deve dunque essere vero che:

Che ribadisce il concetto già discusso.

I due fattori sono separatamente uguali a zero per i seguenti valori

\(x_1= -1 \; \; \; ; x_2=-2\)

Verifichiamo per \(x_1=-1…\)

\(((-1)^2+3(-1)+2)=0 \rightarrow\)

\((-1-3+2)=0\)

\(0=0\)

Verifichiamo per \(x_2=-2…\)

\(((-2)^2+3(-2)+2)=0 \rightarrow \)

\((4-6+2)=0\)

\(0=0\)

Quanto discusso per le equazioni di primo e di secondo grado dovrebbe far realizzare la funzione che hanno i procedimenti algebrici correlati al maneggiamento delle equazioni: il rintracciamento del valore dell’incognita.

Vale tutto. Trasformare i polinomi in prodotti più semplici, spostare i termini da una parte all’altra dell’uguale, reinterpretare il problema da affrontare, a patto che le procedure vengano effettuate con il dovuto rigore matematico. Si può osservare come per le equazioni menzionate, ma vale per tutte, la sostituzione della \(x\) uguaglia i termini della equazione dando forme del tipo \(0=0, \; 1=1… k=k \) con \(k\) costante.

Ogni volta che sei incerto sul valore di incognita che hai trovato sostituiscilo alla \(x\) e vai alla ricerca della generica uguaglianza di un numero con se stesso. Così puoi verificare il valore trovato della \(x\) come visto sopra. Se ottieni uguaglianze del tipo \(1=7 \; ; 0=-1\) e via dicendo, in cui il numero a sinistra dell’uguale è diverso da quello a destra dell’uguale ricontrolla i conti, sicuramente il valore di \(x\) che hai trovato è scorretto. Infine, ricorda che ogni equazione nasconde una domanda, esattamente come abbiamo discusso in questo articolo. Prova a formulare la domanda, specialmente quando le equazioni sono molto sintetiche, alle volte la risposta è immediata e non richiede nemmeno svolgimento