Prima di partire con gli esercizi, cosa sono i limiti?
In matematica, i limiti sono uno dei concetti fondamentali della teoria del calcolo differenziale e integrale. In particolare, i limiti vengono utilizzati per descrivere il comportamento di una funzione quando l’input si avvicina a un certo valore.
Formalmente, il limite di una funzione \(f(x)\)quando \(x\) tende ad un certo valore a, indicato come:
\(lim_{(x \rightarrow a)} f(x)\)
indica il valore che \(f(x)\) si avvicina sempre di più quando x si avvicina ad a, ma senza mai raggiungerlo. In altre parole, il limite di \(f(x)\)quando x tende ad a è il valore che \(f(x)\)si avvicina sempre di più a misura che \(x\) si avvicina ad a, indipendentemente dal fatto che il valore di \(f(a)\) esista o meno.
L’idea dei limiti è fondamentale per lo sviluppo del calcolo, in quanto consente di calcolare la derivata di una funzione in un punto, di trovare la massima e la minima di una funzione, e di valutare l’integrale di una funzione in un intervallo. Inoltre, la nozione di limite è fondamentale per comprendere concetti avanzati della matematica, come la teoria delle funzioni analitiche, la teoria della probabilità e la teoria della complessità computazionale.
In sintesi, i limiti sono un concetto fondamentale della matematica, che permettono di comprendere il comportamento delle funzioni quando l’input si avvicina a un certo valore.
1 Primo esercizio sui limiti
1.1 Testo
\( lim_{x \rightarrow 3 }{\frac{x^4-5x^3-24x^2}{2x^3+9x^2+9x}}\)
1.1 Soluzione
Sia numeratore che denominatore si annullano per \(x=-3\).
Quindi entrambi i polinomi sono scomponibili in un modo tipo il seguente:
\(\frac{x^3-5x^2-24x}{2x^2+9x+9}=\frac{(x+3)(…)}{(x+3)(…)}\)
In cui il secondo fattore sia di denominatore che denominatore non è noto. Per scoprirlo si procede a dividere il polinomio al numeratore per il binomio \((x+3)\).

Quindi il numeratore è stato scoperto:
\( lim_{x \rightarrow -3} {\frac{x^4-5x^3-24x^2}{2x^3+9x^2+9x}}=\)
\( lim_{x \rightarrow -3} {\frac{(x+3)(x^2-8x)}{(x+3)(…)}}\)
Per scoprire la scomposizione del denominatore si sa che, in generale, un polinomio di secondo grado è del tipo:
\(x^2+sx+p\)
E si può scomporre se esistono due numeri \( \alpha\) e \(\beta\) tali che:
\((\alpha)( \beta)=p\)
\((\alpha)+( \beta)=s\)
E quindi:
\(x^2+sx+p=(x+\alpha)(x+\beta)\)
Nel nostro caso si può intendere:
\(2x^2+9x+9=2(x^2+\frac{9}{2}x+\frac{9}{2})\)
E allora nel caso esempio:
\((3)(\frac{3}{2})=\frac{9}{2}\)
\((3)+(\frac{3}{2})=\frac{9}{2}\)
Quindi:
\(2x^2+9x+9=2(x+3)(x+\frac{3}{2})\)
Quindi:
\( lim_{x \rightarrow -3}{\frac{x^4-5x^3-24x^2}{2x^3+9x^2+9x}}=\)
Allora:
\(lim_{x \rightarrow -3}{\frac{(x+3)(x^2-8x)}{2(x+3)(x+\frac{3}{2})}}\)
\(lim_{x \rightarrow -3}{\frac{(x^2-8x)}{2(x+\frac{3}{2})}}=\)
\(=\frac{9+24}{2-\frac{3}{2}}=-\frac{33}{3}=-11\)
Secondo esercizio sui limiti
Testo
\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{8x^4+3x^3-2x}}{3x^2-x+8}}\)
Soluzione
Si raggruppa per \(x^4\):
\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{x^4(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3})}}{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2})}}=\)
Si porta fuori dalla radice \(x^4\):
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2 \sqrt{\left(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3}\right)}}{x^2\left(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2}\right)}\)
Semplifichiamo \(x^4\):
\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3}}}{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2})}}\)
Semplifichiamo \(x^2\):
\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3})}}{(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2})}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Terzo esercizio sui limiti
testo
\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{6x-5}-\sqrt{6x+7}}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+4}}}\)
Soluzione:
Razionalizziamo il denominatore con la quantità \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+4}\):



Moltiplichiamo ora numeratore e denominatore per la quantità \(\sqrt{6x-5}+\sqrt{6x+7}\):


Isoliamo la quantità \(\sqrt{x}\) su ogni termine sia al numeratore che al denominatore:
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-12 \sqrt{x}\left(\sqrt{2-\frac{1}{x}}+\sqrt{2+\frac{4}{x}}\right)}{-5 \sqrt{x}\left(\sqrt{6-\frac{5}{x}}+\sqrt{6+\frac{7}{x}}\right)}\)
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-12\left(\sqrt{2-\frac{1}{x}}+\sqrt{2+\frac{4}{x}}\right)}{-5\left(\sqrt{6-\frac{5}{x}}+\sqrt{6+\frac{7}{x}}\right)}=\frac{24 \sqrt{2}}{10 \sqrt{6}}=\frac{12 \sqrt{2}}{5 \sqrt{6}}\)
Quarto esercizio
Testo
\(\lim _{x \rightarrow+\infty}{\frac{3x^2+5x^2-10}{-3x^2+20x^2+5x-24}}\)
Soluzione
Sommiamo le quantità simili al numeratore:
\(\lim _{x \rightarrow+\infty}{\frac{8x^2-10}{-3x^3+20x^2+5x-24}}\)
Raggruppiamo al numeratore per \(x^2\) e al denominatore per \(x^3\):
\(\lim _{x \rightarrow+\infty}{\frac{x^2(8-\frac{10}{x^2})}{x^3(-3+\frac{20}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{24}{x^3})}}\)
Semplifichiamo e calcoliamo il limite:

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