Quattro esercizi sui limiti

Prima di partire con gli esercizi, cosa sono i limiti?

In matematica, i limiti sono uno dei concetti fondamentali della teoria del calcolo differenziale e integrale. In particolare, i limiti vengono utilizzati per descrivere il comportamento di una funzione quando l’input si avvicina a un certo valore.

Formalmente, il limite di una funzione \(f(x)\)quando \(x\) tende ad un certo valore a, indicato come:

\(lim_{(x \rightarrow a)} f(x)\)

indica il valore che \(f(x)\) si avvicina sempre di più quando x si avvicina ad a, ma senza mai raggiungerlo. In altre parole, il limite di \(f(x)\)quando x tende ad a è il valore che \(f(x)\)si avvicina sempre di più a misura che \(x\) si avvicina ad a, indipendentemente dal fatto che il valore di \(f(a)\) esista o meno.

L’idea dei limiti è fondamentale per lo sviluppo del calcolo, in quanto consente di calcolare la derivata di una funzione in un punto, di trovare la massima e la minima di una funzione, e di valutare l’integrale di una funzione in un intervallo. Inoltre, la nozione di limite è fondamentale per comprendere concetti avanzati della matematica, come la teoria delle funzioni analitiche, la teoria della probabilità e la teoria della complessità computazionale.

In sintesi, i limiti sono un concetto fondamentale della matematica, che permettono di comprendere il comportamento delle funzioni quando l’input si avvicina a un certo valore.

1         Primo esercizio sui limiti

1.1        Testo

\( lim_{x \rightarrow 3 }{\frac{x^4-5x^3-24x^2}{2x^3+9x^2+9x}}\)

1.1        Soluzione

Sia numeratore che denominatore si annullano per \(x=-3\).

Quindi entrambi i polinomi sono scomponibili in un modo tipo il seguente:

\(\frac{x^3-5x^2-24x}{2x^2+9x+9}=\frac{(x+3)(…)}{(x+3)(…)}\)

In cui il secondo fattore sia di denominatore che denominatore non è noto. Per scoprirlo si procede a dividere il polinomio al numeratore per il binomio \((x+3)\).

Quindi il numeratore è stato scoperto:

\( lim_{x \rightarrow -3} {\frac{x^4-5x^3-24x^2}{2x^3+9x^2+9x}}=\)

\( lim_{x \rightarrow -3} {\frac{(x+3)(x^2-8x)}{(x+3)(…)}}\)

Per scoprire la scomposizione del denominatore si sa che, in generale, un polinomio di secondo grado è del tipo:

\(x^2+sx+p\)

E si può scomporre se esistono due numeri \( \alpha\) e \(\beta\) tali che:

\((\alpha)( \beta)=p\)

\((\alpha)+( \beta)=s\)

E quindi:

\(x^2+sx+p=(x+\alpha)(x+\beta)\)

Nel nostro caso si può intendere:

\(2x^2+9x+9=2(x^2+\frac{9}{2}x+\frac{9}{2})\)

E allora nel caso esempio:

\((3)(\frac{3}{2})=\frac{9}{2}\)

\((3)+(\frac{3}{2})=\frac{9}{2}\)

Quindi:

\(2x^2+9x+9=2(x+3)(x+\frac{3}{2})\)

Quindi:

\( lim_{x \rightarrow -3}{\frac{x^4-5x^3-24x^2}{2x^3+9x^2+9x}}=\)

Allora:

\(lim_{x \rightarrow -3}{\frac{(x+3)(x^2-8x)}{2(x+3)(x+\frac{3}{2})}}\)

\(lim_{x \rightarrow -3}{\frac{(x^2-8x)}{2(x+\frac{3}{2})}}=\)

\(=\frac{9+24}{2-\frac{3}{2}}=-\frac{33}{3}=-11\)

        Secondo esercizio sui limiti

       Testo

\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{8x^4+3x^3-2x}}{3x^2-x+8}}\)

Soluzione

Si raggruppa per \(x^4\):

\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{x^4(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3})}}{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2})}}=\)

Si porta fuori dalla radice \(x^4\):

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2 \sqrt{\left(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3}\right)}}{x^2\left(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2}\right)}\)

Semplifichiamo \(x^4\):

\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3}}}{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2})}}\)

Semplifichiamo \(x^2\):

\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{(8+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3})}}{(3-\frac{1}{x}+\frac{8}{x^2})}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Terzo esercizio sui limiti

testo

\( lim_{x \rightarrow+ \infty}{\frac{\sqrt{6x-5}-\sqrt{6x+7}}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+4}}}\)

Soluzione:

Razionalizziamo il denominatore con la quantità \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+4}\):

Moltiplichiamo ora numeratore e denominatore per la quantità \(\sqrt{6x-5}+\sqrt{6x+7}\):

Isoliamo la quantità \(\sqrt{x}\) su ogni termine sia al numeratore che al denominatore:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-12 \sqrt{x}\left(\sqrt{2-\frac{1}{x}}+\sqrt{2+\frac{4}{x}}\right)}{-5 \sqrt{x}\left(\sqrt{6-\frac{5}{x}}+\sqrt{6+\frac{7}{x}}\right)}\)

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-12\left(\sqrt{2-\frac{1}{x}}+\sqrt{2+\frac{4}{x}}\right)}{-5\left(\sqrt{6-\frac{5}{x}}+\sqrt{6+\frac{7}{x}}\right)}=\frac{24 \sqrt{2}}{10 \sqrt{6}}=\frac{12 \sqrt{2}}{5 \sqrt{6}}\)

Quarto esercizio

Testo

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}{\frac{3x^2+5x^2-10}{-3x^2+20x^2+5x-24}}\)

Soluzione

Sommiamo le quantità simili al numeratore:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}{\frac{8x^2-10}{-3x^3+20x^2+5x-24}}\)

Raggruppiamo al numeratore per \(x^2\) e al denominatore per \(x^3\):

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}{\frac{x^2(8-\frac{10}{x^2})}{x^3(-3+\frac{20}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{24}{x^3})}}\)

Semplifichiamo e calcoliamo il limite: