Come dimensionare l’induttanza in un circuito RL

Un circuito RL è così chiamato perché prevede la messa in serie di una resistenza e di una induttanza, come illustrato in figura seguente.

Circuito RL induttanza
Figura 1 Esempio di circuito RL

La corrente che circola in un circuito RL varia nel tempo secondo un modello definito dalla seguente relazione:

\(i(t)=\frac{f_{e m}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L} t}\right)\)

Da questa formula è chiaro che:

  • Quando \(t\) tende a infinito \(i(t)=\frac{f_{e m}}{R}\)
  • Mentre per \(t=0 \) si ha \(i(t)=0\).

La corrente di un circuito RL a regime è uguale a quella che si avrebbe in un circuito con sola resistenza. La differenza sta nella transitorietà iniziale, in quanto a seguito del collegamento del generatore non viene raggiunta la corrente di regime istantaneamente ma secondo la legge appena discussa.

Così come l’induttanza..

Impedisce alla corrente di raggiungere subito il valore di regime, è anche vero che, in caso di distacco del generatore, l’induttore si comporta da mantenitore dello stato di corrente di regime. Infatti, la corrente che circola nel circuito a seguito della rimozione del generatore è la seguente:

\(i(t)=\frac{f_{e m}}{R} e^{-\frac{R}{L} t}\)

In questa formula è chiaro che:

  • quando \(t=0\) si ha \(i(t)=\frac{f_{em}}{R}\)
  • Mentre quando \(t\) tende a infinito si ha \(i(t)=0\)

Il che testimonia che l’induttore si comporti come se fosse un mantenitore dello stato di corrente raggiunto a regime dal circuito.

Esempio di esercizio sul circuito RL

Si supponga di avere un circuito RL in cui la resistenza è pari a\(100k \Omega\) e la corrente di regime pari a \(9mA\). Quale deve essere il valore dell’induttanza per ottenere un ciclo di scarica che renda la corrente pari alla metà del suo valore di regime dopo \(0,5s\)?

Soluzione

Secondo quanto dichiarato precedentemente si prende in considerazione la seguente:

\(i(t)=\frac{f_{e m}}{R} e^{-\frac{R}{L} t}\)

Di cui si sa che:

\(i(t=0,5)=\frac{1}{2}i(t=0)=\frac{1}{2} \cdot 9mA=4,5mA\)

Ma anche che:

\(\frac{f_{em}}{r}=i(t=0) \rightarrow f_{em}=9V\)

Quindi:

\(4,5mA=\frac{9V}{100k \Omega} \cdot e^{-\frac{100k \Omega}{L}0,5s}\)

\(\frac{4,5 \cdot 100}{9}=e^{\frac{100 \cdot 10^3}{L} 0,5}\)

\(e^{-\frac{50 \cdot 10^3}{L}}=50\)

\(ln(50)=\frac{50 \cdot 10^3}{L}\)

\(L=\frac{50 \cdot 10^3}{ln(50)} \approx 12781,11 H\)

Servirebbe dunque fornirsi di un’induttanza di circa \(12,79 kH\) per soddisfare la richiesta del problema.

Questo risultato fa riflettere, perché commercialmente vengono vendute induttanze nettamente più piccole di quella appena calcolata. Un’induttanza acquistabile ha, in media, un valore con tre ordini di grandezza in meno rispetto a quella calcolata. Ciò significa che la richiesta del problema richiede ulteriore lavoro di progettazione per essere realizzata oppure deve essere ritrattata. Riusciresti a dire dopo quanto tempo avresti dimezzato il valore di corrente supponendo di avere acquistato un’induttanza pari a\(100 mH\)?

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