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Esempi di esercizi sull’errore relativo e assoluto

Esempi di esercizi..

Testo

Immergi una sfera di ferro in un recipiente d’acqua. Il volume della sfera fa passare il livello del recipiente da \((130 \pm 1)mL\) a \((137 \pm 1)mL\).

  • Quale è il volume della sfera di ferro? Indicala con l’incertezza assoluta associata
  • Quale è l’incertezza relativa associata al volume della sfera?
  • Confronta le incertezze relative delle misure con l’incertezza relativa sulla stima del volume della sfera di ferro.

Soluzione

Il volume della sfera è dato dalla somma delle singole misure e la somma delle sensibilità di misura:

calcolo matematico per il volume della sfera, parte matematica dell'esempio di esercizi

L’incertezza relativa è data dal rapporto tra sensibilità della misura e misura stessa. In questo caso deriva da un calcolo ma il concetto è lo stesso:

\(\frac{\Delta x_{TOT}}{x_{TOT}}=\frac{\Delta x_1 + \Delta x_2}{x_1 +x_2}=\frac{2}{7}\approx 0,286 \approx 0,3\)

Le due incertezze relative sono:

\(\frac{\Delta x_1}{x_1}=\frac{1}{130}=0,0077\)

\(\frac{\Delta x_2}{x_2}=\frac{1}{137} \approx 0,0073\)

Quindi più di 40 volte inferiori rispetto alla incertezza calcolata.

Testo

Luca misura il volume di un cilindro (con raggio pari a \((8 \pm 0,1)cm\) immergendolo in acqua, per cinque volte, ottenendo sempre delle misure diverse. I valori di volume misurati da luca sono:

  • Primo tentativo:\(1001 cm^3\)
  • Secondo tentativo:\(999 cm^3\)
  • Terzo tentativo:\(996cm^3\)
  • Quarto tentativo:\(1009cm^3\)
  • Quinto tentativo:\(1002 cm^3\)

Calcola l’altezza del cilindro valutandone l’incertezza di misura.

Soluzione

Per poterlo scoprire si considera che il volume del cilindro si calcola prima senza incertezza:

\(V_c=S \cdot h=\pi r^2 h \approx 3,14 (8cm)^2 h\)

Da cui:

\(h=\frac{V_c}{3,14 (8cm)^2}\)

Quindi:

\(h_1 \approx 4,981\)

\(h_2 \approx 4,971\)

\(h_3 \approx 4,956\)

\(h_4 \approx 5,021\)

\(h_5 \approx 4,986\)

\(h_{media}=\frac{h_1+h_2+h_3+h_4+h_5}{5}=4,983\)

Scritto con l’incertezza, che viene semplicemente trascinata dalla misura iniziale, si ha che l’altezza è pari a circa \(4,9cm \; \pm \; 0,1cm.\)

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