Testo

Determinare l’equazione della parabola che passa per i punti  \((-1,-6)\) e \((6,8)\) ha l’asse di simmetria sulla retta \( x= \frac{1}{2}\).

Soluzione

Per trovare l’equazione della parabola nella forma generale \(y=ax^2+bx+c\) partiamo dalle condizioni fornite:

• La parabola ha l’asse di simmetria sulla retta \(x=\frac{1}{2}\), quindi la coordinata \(x\) del vertice è \(x_v = \frac{1}{2}\).
• La parabola passa per i punti \((-1,-6)\), e \((6,8)\).

Dalla condizione sull’asse di simmetria, sappiamo che la coordinata x del vertice \(x_v= – \frac{b}{2a} \) deve essere uguale a \( \frac{1}{2}\). Questo ci dà la prima equazione:

\(- \frac{b}{2a}=\frac{1}{2} \rightarrow \; b=-a\)

Ora possiamo usare le condizioni dei punti per ottenere due ulteriori equazioni. La parabola passa per il punto \((-1, -6)\).

\( -6=a (-1)^2+b(-1)+c \; \rightarrow \; -6=a-b+c \)

E passa per il punto \((6,8)\):

\( 8= a(6)^2 +b(6)+c \; \rightarrow \; 8=36a+6b+c\)

Sostituiamo \(b=-3\) in entrambe le equazioni:

\( -6 = a-(-3) +c \rightarrow -6=a+3+c \rightarrow -6= a+c+3 \)

\(8=36a+6(-3)+c \rightarrow 8=36a -18+c \rightarrow 8=36 a+c-18\)

Ora abbiamo un sistema di due equazioni con due incognite:

\( \left\{\begin{matrix} -6=a+c+3\\ 8=36a+c-18 \end{matrix}\right. \)

Sottraendo la prima equazione dalla seconda per eliminare \(c\) :

\( 8-(-6)=(36a+c-18)-(a+c+3) \rightarrow 14=35a-21 \rightarrow 14+21=35a \rightarrow 35= 35a \rightarrow a=1\)

Ora sostituiamo \(a=1\) in una delle equazioni per trovare \(c\):

\(-6=1+c+3 \rightarrow -6=1+3+c \rightarrow -6=4+c \rightarrow c=-6-4 \rightarrow c=-10\)

Ora che abbiamo \((a=1)\) e \((c=-10)\) calcoliamo \(b\):

\(b=-3\)

Quindi l’equazione della parabola è:

\(y=x^2-3x-10\)

Verifica

Passaggio per il punto \((-1,-6)\):

\(-6=(-1)^2-3(-1)-10 \rightarrow -6=1+3-10 \rightarrow -6=-6 \)

Passaggio per il punto \((6,8)\):

\(8-6^2-3(6)-10 \rightarrow 8=36-18-10 \rightarrow 8=8\)

Conclusione dell’equazione di una parabola..

L’equazione della parabola è correttamente trovata come:

\(y=x^2-3x-10\)

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