Testo
Si voglia svolgere il seguente integrale:
Soluzione
Come primo passaggio si può riscrivere come segue:
\(arcsinx-\int{\sqrt{1-x^2}}\)
Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ottiene:
\(arcsinx-[x\sqrt{1-x^2}-\int{-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}]=\)
\(arcsinx-[x\sqrt{1-x^2}-\int{-\frac{-x^2+(1-1)}{\sqrt{1-x^2}}}]=\)
\(arcsinx-[x\sqrt{1-x^2}-\int{-\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}}]=\)
Perciò:
Per le quantità tra le parentesi quadre si nota che:
Quindi:
Ovvero:
Tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:
Il termine costante \(c\) definisce le altre primitive.
Al finale, sommando, si ottiene:
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