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Come svolgere in matematica un integrale indefinito

Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

integrale di matematica indefinito testo del problema da risolvere

Soluzione

Come primo passaggio si può riscrivere come segue:

\(arcsinx-\int{\sqrt{1-x^2}}\)

Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ottiene:

\(arcsinx-[x\sqrt{1-x^2}-\int{-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}]=\)

\(arcsinx-[x\sqrt{1-x^2}-\int{-\frac{-x^2+(1-1)}{\sqrt{1-x^2}}}]=\)

\(arcsinx-[x\sqrt{1-x^2}-\int{-\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}}]=\)

Perciò:

passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito
passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito
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Per le quantità tra le parentesi quadre si nota che:

passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito

Quindi:

passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito

Ovvero:

passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito

Tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:

passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito

Il termine costante \(c\) definisce le altre primitive.

Al finale, sommando, si ottiene:

passaggi matematici per la soluzione dell'integrale matematico indefinito