Come semplificare una frazione algebrica

Per poter semplificare una frazione algebrica devi accertarti che ci sia almeno una coppia di termini uguali di cui un termine sta al numeratore e l’altro al denominatore.

Ricordati che il solo fatto che ci sia una coppia termini uguali a numeratore e denominatore non basta come regola di semplificazione.

Il concetto che sta alla base delle semplificazioni è che un numero diviso sé stesso è pari a uno. Quindi se è vero che:

\(\frac{A}{A}=1\)

Non è invece vero che:

\(\frac{A+2}{A}=2\)

Infatti se per esempio \(A=7\) è palese che NON è vero che:

\(\frac{7+2}{7}=2\)

Invece è possibile dire che:

\(\frac{2A}{A}=2\)

Infatti se per esempio \(A=7\) risulta vero che:

\(\frac{14}{7}=2\)

In generale se la coppia di termini uguali da semplificare sono sommati per altri termini non sono semplificabili mentre se sono moltiplicati per altri termini allo è possibile semplificarli.

Esempio 1

Consideriamo la frazione algebrica a sinistra dell’uguale e il suo corrispondente semplificato a destra:

Anche se non sembra le due frazioni sono proprio uguali ed è possibile arrivare a quella semplificata in pochi semplici passaggi. Infatti, considerando che tutti i termini sono moltiplicati tra di loro è molto facile semplificare, basta dividere i termini simili tra loro e riportare quel che rimane.

Al numeratore rimane \(a\), per esempio, perchè ha potenza due e quindi si semplifica con la \(a\) del denominatore. Invece tra \(b\) e \(c\) nessuno rimane al numeratore, perchè le potenze al denominatore hanno esponente più alto.

Per la \(b\) rimane due perchè è la differenza tra 5 e 3 mentre per la \(c\) rimane 2 perchè è la differenza tra 6 e 4.

Infine abbiamo 3 al denominatore perchè il 4 nel 12 ci sta 3 volte.

Esempio 2

Prendiamo in considerazione quest’altro esempio

\(\frac{12a^6b^9c^10}{20a^7b^5c^6}\)

\(\frac{12b^4c^4}{20a} \rightarrow\)

\(\rightarrow = \frac{3b^4c^4}{5a}\)

Esempio 3

Si prenda ora in considerazione questa frazione algebrica:

\( \frac{6x^5+6x^3}{10x^4+10x^2}\)

In questo caso è possibile raggruppare al numeratore e al denominatore per \(x^2\) e una volta effettuato il raggruppamento la semplificazione risulta più semplice; come di seguito:

\(\frac{6x \cancel{(x^2+1)}}{10x^2 \cancel{(x^2+1)}}\rightarrow\)

\(\rightarrow = \frac{6x}{10}=\frac{3x}{5}\)

Esempio 4

Questo è un altro esempio degno di nota:

\(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}\)

In questo caso torna utile ricordare la scomposizione in fattori dei polinomi tramite le regole imposte dai prodotti notevoli.

\(\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}=\rightarrow\)

\(\rightarrow = \frac{\cancel{(x+2)}(x+2)}{\cancel{(x+2)}(x-2)}= \rightarrow \)

\(\rightarrow = \frac{(x+2)}{(x-2)}\)