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Il campo di esistenza di un prodotto di radici

In questo articolo, andiamo a vedere come calcolare le condizioni di esistenza di un esempio generico di prodotto di radici

Determina le condizioni di esistenza (o campo di esistenza) del seguente prodotto di radici:

Prodotto di radici in matematica, determinare le condizioni di esistenza

Soluzione

Il campo di esistenza impone che:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2t} \geq 0\\8t^3-4t^2\end{matrix}\right.\)

Quindi:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2t} \geq 0\\4t^2(2t-1) \geq 0\end{matrix}\right.\)

Di cui la seconda può essere vista come un prodotto di due fattori del seguente tipo:

\(F_1*F_2 \geq 0\)

In cui:

  • \(F_1=4t^2\)
  • \(F_2=2t-1\)

Si sa che due fattori moltiplicati tra loro sono positivi quando i segni dei due fattori sono concordi, perciò possiamo studiare dove i fattori separatamente sono positivi.

\(F_1 \geq 0\rightarrow 4t^2 \geq 0 \rightarrow\) sempre

\(F_2 \geq 0 \rightarrow\) t \( \geq \frac{1}{2}\)

Dal momento che \(F_1\) è sempre positivo e che \(F_2\) è positivo per valori di \(t\) maggiori di \(\frac{1}{2}\) il prodotto \(F_1*F_2\) è positivo per valori di t maggiori o uguali a \(\frac{1}{2}\).

Adesso si può scrivere:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2t} \geq 0\\t \geq \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Per quel che riguarda la prima essa è un rapporto e noi sappiamo che un rapporto è positivo quando il numeratore N(x) e il denominatore D(x) hanno segno concorde. A questo punto vediamo separatamente il numeratore N(x) e il denominatore D(x) hanno segno concorde.

Quindi:

\(N(x) \geq 0 \rightarrow 1 \geq 0 \rightarrow\) sempre

\(D(x) > 0 \rightarrow 2t > 0 \rightarrow t >0\)

Dal momento che N(x) è sempre positivo e che D(x) è positivo per valori di \(t\) maggiori di 0, il rapporto \(\frac{N(x)}{D(x)}\) è positivo per valori di \(t\) maggiori di zero.

Quindi ora possiamo scrivere:

\(\left\{\begin{matrix}t>0\\t \geq \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Che devono essere contemporaneamente soddisfatte e lo sono per \(t \geq \frac{1}{2}\) quindi il campo di esistenza della espressione originaria è:

\( t \geq \frac{1}{2}\)