Carica in un condensatore:campo e accelerazione - La soluzione per gli studenti

Scheda del contenuto	Indicazione
Argomento	Condensatore piano nel vuoto e moto di una particella carica
Livello e destinatari	Triennio delle superiori; ripasso introduttivo di fisica universitaria
Difficoltà e studio	Intermedia · 20–30 minuti stimati, non misurati sugli studenti
Profilo e versione	Articolo / esercizio svolto · Contenuto 1.0 · Sistema ES 2.6
Redazione e data	Esercizi Svolti · 28 settembre 2026

Introduzione didattica

Una particella carica può iniziare a muoversi anche se viene lasciata ferma: ciò che determina la sua accelerazione è la forza, non la velocità iniziale. In un condensatore il collegamento tra elettricità e dinamica passa attraverso il campo elettrico.

La difficoltà di questo esercizio è che il campo non viene fornito direttamente. Occorre ricostruirlo usando la capacità, la tensione e l’area delle armature, senza confondere la carica della particella con quella accumulata sulle piastre.

Lo svolgimento rende esplicita ogni grandezza intermedia e chiude con tre controlli: unità di misura, verso del moto e compatibilità delle ipotesi del modello. Il numero finale è una previsione del modello, non una misura sperimentale.

Scopo didattico Ricavare il campo dai dati del condensatore, determinare l’accelerazione e distinguere modulo, componente e verso. Controllare anche quando l’approssimazione adottata è plausibile.

Prerequisiti Seconda legge di Newton; forza elettrica su una carica; capacità e differenza di potenziale; densità superficiale di carica; area del quadrato; conversioni SI e notazione scientifica.

1. Testo dell’esercizio

In una camera a vuoto si considerano due armature metalliche quadrate e parallele. Un generatore mantiene costante la differenza di potenziale tra le piastre. Una particella positiva viene rilasciata da ferma nella zona centrale del condensatore, lontano dai bordi e dalle superfici metalliche.

I parametri del sistema sono riportati nella tabella. I valori sono dati assegnati per il calcolo, non risultati di una misura.

Grandezza	Simbolo	Valore assegnato
Capacità	\(C\)	36 \(pF\)
Lato di ciascuna armatura	\(l\)	\(12cm\)
Differenza di potenziale	\( \Delta V\)	\( 24 V\)
Carica della particella	\(q\)	\( +3,0 \cdot 10^{-14} C\)
Massa della particella	\(m\)	\(5,0 \cdot 10{-14}kg\)

Per i calcoli usa la permittività del vuoto \( \varepsilon_0\) arrotondata a quattro cifre significative [4].

\varepsilon_0 \approx 8{,}854\cdot10^{-12}\,\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}

Assumi un condensatore piano ideale: campo uniforme nella regione considerata, perturbazione dovuta alla particella trascurabile, assenza di urti e resistenza del mezzo. Trascuriamo inoltre la gravità. Queste sono ipotesi del modello, non conseguenze del solo fatto che la camera sia vuota.

1. Calcola il modulo del campo elettrico tra le armature.
2. Determina modulo, direzione e verso dell’accelerazione della particella.

Figura 1 — Campo e accelerazione. Osserva il verso comune per una carica positiva. è la distanza tra le armature, diversa dal lato . Elaborazione ES da sorgente SVG controllato; schema non in scala.

2. Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

Convenzione: i vettori \(E\), \(F_e\) e \(a\) sono in grassetto tondo, i simboli \(E,\) \(F_e\) e \(a\) senza grassetto ne indicano i moduli; \(a_x\) è invece la componente lungo l’asse \(x\), orientato dalla piastra positiva a quella negativa.

2.1 Dalla forza elettrica all’accelerazione

La seconda legge di Newton lega la risultante delle forze alla variazione della velocità. Nel modello scelto la sola forza considerata è quella elettrica [1, 2]:

F_e=ma \qquad \text{e} \qquad F_e=qE

Il prodotto \( qE\) descrive la forza esercitata dal campo esterno sulla particella; \(m\) è la massa inerziale, che limita l’accelerazione prodotta da quella forza. La carica \(q\) conserva il proprio segno. Passando ai moduli, invece, compare il valore assoluto.

\mathbf{a}=\frac{q}{m}\mathbf{E}\qquad\Rightarrow\qquad a=\frac{|q|E}{m}

Il rapporto |q| / m quantifica la risposta della particella a un campo dato. A parità di massa, più carica produce più accelerazione; a parità di carica, più massa ne produce meno. Il campo \(E\) si esprime in newton per coulomb, la forza in newton e l’accelerazione in metri al secondo quadrato.

2.2 Capacità e carica sulle armature

Nel condensatore ideale le piastre portano cariche opposte, di uguale modulo \(Q\). Definiamo \( \Delta V\) come valore positivo della tensione tra le armature [3]:

C=\frac{Q}{\Delta V}\qquad\Rightarrow\qquad Q=C\Delta V

La capacità \(C\) indica quanta carica viene separata per ogni volt applicato. Il prodotto \( C \Delta V\) fornisce quindi il modulo della carica di una piastra, non la carica della particella e non la somma dei moduli delle due piastre.

2.3 Dalla densità superficiale al campo

L’area di una piastra è \(A=l^2\) nel modello uniforme il rapporto tra carica e area definisce la densità superficiale in modulo [3]:

\sigma=\frac{Q}{A}\qquad \text{e} \qquad E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}

Il rapporto \(Q/A\) distribuisce la carica di una piastra sulla sua area, in coulomb al metro quadrato. Dividere per \( \varepsilon_0\) converte questa densità nel campo tra le due armature nel vuoto.

Non compare il fattore due del singolo foglio carico: tra le due piastre i contributi si sommano. Il campo è diretto dalla piastra positiva a quella negativa [3].

Idea chiave Prima si ricava il campo generato dal condensatore; solo dopo si usa la carica della particella per trovare forza e accelerazione.

3. Consigli di problem solving ed errori comuni

3.1 Costruire il percorso delle incognite

L’accelerazione richiede il campo, il campo richiede la densità superficiale, la densità richiede carica e area. La capacità e la tensione permettono di ottenere la carica delle piastre. Questa lettura a ritroso suggerisce l’ordine operativo dei calcoli:

C,\Delta V \rightarrow Q \rightarrow \sigma \rightarrow E \rightarrow F_e \rightarrow a

Il lato \(l\) entra nel passaggio da \(Q\) a \( \sigma\) attraverso l’area.

Le frecce rappresentano dipendenze di calcolo: non significano che una grandezza si trasformi fisicamente nella successiva.

Procedura: converti capacità e lunghezza nel SI; calcola l’area; trova la carica di una piastra; ricava densità e campo; determina la forza sulla particella; dividi per la massa. Infine interpreta il verso usando il segno della carica.

3.2 Errori da prevenire

Errore e causa	Conseguenza	Correzione e controllo
Scambiare carica della particella e carica delle piastre: entrambe si misurano in coulomb.	Il campo viene calcolato con la sorgente sbagliata.	Ricava la carica delle piastre da capacità e tensione; usa quella della particella solo nella forza.
Usare il lato al posto dell’area, oppure sommare le aree delle due piastre.	Densità superficiale e campo diventano errati.	Considera l’area di una sola armatura, elevando al quadrato il lato già convertito in metri.
Lasciare picofarad e centimetri dentro formule SI.	Il risultato può cambiare di molti ordini di grandezza.	Scrivi separatamente le conversioni prima di moltiplicare le potenze di dieci.
Usare il campo di un solo foglio uniformemente carico.	Il campo interno risulta dimezzato.	Considera entrambe le armature: tra le piastre i contributi hanno lo stesso verso.
Concludere che da ferma la particella non accelera.	Si confondono velocità iniziale e variazione della velocità.	Controlla la forza risultante. Una velocità iniziale nulla non impone una forza nulla.

3.3 Il ruolo delle ipotesi

La condizione iniziale \(v_0=0\) descrive il rilascio da ferma. Non entra nella formula dell’accelerazione, finché il campo e la massa rimangono costanti. Servirebbe invece per ricostruire velocità e posizione nel tempo.

Attenzione Un risultato algebricamente corretto non dimostra che il campo sia davvero uniforme. Nella verifica confronteremo la distanza tra le piastre con il loro lato e la carica della particella con quella di una piastra.

4. Soluzione svolta passo per passo

Passo 1 — Convertire i dati e calcolare l’area

Un picofarad corrisponde a un bilionesimo di farad; un centimetro a un centesimo di metro. La massa e la carica sono già nel SI. Perciò:

\begin{array}{l} C=36\,\mathrm{pF}=3{,}6\cdot10^{-11}\,\mathrm{F}\qquad l=0{,}12\,\mathrm{m} \\[6pt] A=l^2=(0{,}12\,\mathrm{m})^2=0{,}0144\,\mathrm{m}^2 \end{array}

Il quadrato riguarda anche l’unità di misura. L’area ottenuta è quella di una sola armatura.

Passo 2 — Ricavare la carica di una piastra

Moltiplichiamo capacità e tensione: il risultato è il modulo \(Q\) della carica separata sulle armature.

Q=C\Delta V=(3{,}6\cdot10^{-11}\,\mathrm{F})\cdot(24\,\mathrm{V})=8{,}64\cdot10^{-10}\,\mathrm{C}

Passo 3 — Distribuire la carica sull’area

La densità superficiale è la carica per unità di area. Manteniamo cifre aggiuntive nei risultati intermedi per non arrotondare troppo presto.

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Carica in un condensatore: campo e accelerazione

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