Altezza di un triangolo nel piano cartesiano: equazione, piede e lunghezza

1 Scheda editoriale

Campo	Contenuto
Materia	Matematica
Macro-area	Geometria analitica
Argomento	Rette, perpendicolarità e altezza di un triangolo
Livello	Scuola secondaria di secondo grado
Target	Studenti che stanno studiando rette e geometria analitica nel piano
Difficoltà	Intermedia
Tempo stimato	25–35 minuti
Tipo di esercizio	Calcolo e interpretazione geometrica
Versione	1.3
Data di revisione	14 settembre 2026
Sotto-argomento	Rette perpendicolari, piede dell’altezza e distanza punto-retta
Obiettivo didattico	Costruire analiticamente un’altezza, determinarne il piede, calcolarne la lunghezza e verificarla con un metodo indipendente.
Prerequisiti	Equazione della retta, coefficiente angolare, perpendicolarità, sistemi lineari, distanza tra punti e distanza punto-retta.
Autore / supervisore	Andrea Zedda
Revisore	Revisione editoriale finale da approvare prima della pubblicazione.
Stato	Candidato alla pubblicazione: QA matematico, strutturale e grafico completato.
Verifica computazionale	Non necessaria: risultato controllato con due metodi analitici indipendenti e verifica geometrica.
Servizio collegato	Correzione del procedimento o svolgimento verificato di un esercizio scientifico su richiesta.
Segnalazione errori	Pagina Contattaci di Esercizi Svolti.

2 Introduzione didattica

Determinare l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano non significa soltanto applicare una formula di distanza. Prima bisogna tradurre una proprietà geometrica in relazioni analitiche: individuare il lato di riferimento, costruire la retta perpendicolare che passa per il vertice opposto e trovare il punto in cui le due rette si incontrano.

La difficoltà tipica non è il singolo calcolo, ma il collegamento tra geometria e algebra. Un segno sbagliato nel coefficiente angolare, una retta costruita attraverso il punto sbagliato o una verifica mancante possono produrre un risultato numericamente plausibile ma geometricamente falso.

In questo esercizio useremo due procedimenti indipendenti per controllare la lunghezza dell’altezza. Questa doppia verifica è utile perché separa il risultato dal percorso con cui è stato ottenuto.

Scopo didattico
Al termine dell’esercizio dovresti saper costruire l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano, determinarne il piede, calcolarne la lunghezza e controllare il risultato con un metodo indipendente.

Prerequisiti
Sono utili: equazione della retta, coefficiente angolare, condizione di perpendicolarità tra rette, risoluzione di sistemi lineari, distanza tra due punti e distanza di un punto da una retta.

3 Testo dell’esercizio

Nel piano cartesiano sono assegnati tre vertici di un triangolo.

Il primo vertice ha coordinate:

A=(-1;1)

Il secondo vertice ha coordinate:

B=(5,4)

Il terzo vertice ha coordinate:

C=(2,5)

Determinare:

1. L’equazione della retta che contiene il lato individuato dai primi due vertici;
2. L’equazione dell’altezza condotta dal terzo vertice rispetto a quel lato;
3. Le coordinate del piede dell’altezza;
4. La lunghezza dell’altezza;
5. Una verifica indipendente della lunghezza trovata.

Figura 1 Triangolo e costruzione dell’altezza nel piano cartesiano

4 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

4.1 Retta passante per due punti

Quando sono note le coordinate di due punti con ascisse differenti, il coefficiente angolare della retta che li unisce si ottiene dal rapporto tra la variazione verticale e la variazione orizzontale.

m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Conosciuto il coefficiente angolare e un punto della retta, si può usare la forma punto-coefficiente angolare.

y-y_1=m(x-x_1)

4.2 Condizione di perpendicolarità

Per due rette non verticali, la perpendicolarità si traduce nel fatto che i loro coefficienti angolari sono reciproci e di segno opposto.

m_1m_2=-1

Se il coefficiente angolare di una retta è noto, quello della sua perpendicolare si ottiene quindi con la relazione seguente.

m_{\perp}=-\frac{1}{m}

Questa regola richiede attenzione nei casi particolari di rette verticali o orizzontali, che vanno trattati direttamente dalla loro geometria.

4.3 Piede dell’altezza

Il piede dell’altezza è il punto che appartiene contemporaneamente al lato di riferimento e alla retta dell’altezza. Analiticamente si trova quindi risolvendo il sistema formato dalle due equazioni.

4.4 Lunghezza di un segmento

Una volta note le coordinate degli estremi di un segmento, la sua lunghezza si calcola con il teorema di Pitagora applicato alle differenze tra le coordinate.

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

4.5 Distanza di un punto da una retta

Se una retta è scritta in forma implicita, la distanza di un punto dalla retta si può ottenere direttamente.

ax+bx+c=0

Per un punto assegnato, la distanza è:

d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Nel nostro problema questa formula fornirà un controllo indipendente della lunghezza dell’altezza.

5 Consigli di problem solving ed errori comuni

5.1 Lettura della traccia

Dati — Sono assegnati tre vertici del triangolo mediante le loro coordinate cartesiane. Tutti i dati forniti sono necessari alla costruzione.

Incognite — Occorre determinare la retta del lato scelto, la retta dell’altezza, il piede dell’altezza, la sua lunghezza e un controllo indipendente del risultato.

Vincoli — L’altezza deve passare per il vertice opposto, essere perpendicolare al lato di riferimento e incontrare quel lato nel proprio piede.

Informazioni implicite — I tre punti devono essere non allineati, altrimenti non definiscono un triangolo. Le coordinate non hanno un’unità fisica specificata; le lunghezze sono quindi espresse in unità del piano cartesiano.

Dati superflui — Non sono presenti dati superflui: le coordinate dei tre vertici partecipano tutte alla costruzione geometrica o alla verifica.

5.2 Strategia risolutiva

Prima di calcolare, conviene separare il problema in cinque blocchi.

Costruire la retta del lato di riferimento.
Ricavare la direzione perpendicolare.
Costruire la retta dell’altezza attraverso il vertice opposto.
Intersecare le due rette per trovare il piede.
Calcolare la distanza tra il vertice e il piede e controllarla con la distanza punto-retta.

Idea chiave
L’altezza non è una lunghezza isolata: è prima di tutto una retta perpendicolare a un lato e passante per il vertice opposto. Solo dopo aver trovato il piede possiamo interpretarne la lunghezza come segmento.

5.3 Errori frequenti

Errore osservato	Causa probabile	Conseguenza	Correzione	Controllo rapido
Cambiare solo il segno del coefficiente angolare	Si confonde “opposto” con “reciproco opposto”	La retta costruita non è perpendicolare	Calcolare il reciproco e cambiare il segno	Verificare il prodotto dei due coefficienti
Costruire la perpendicolare attraverso un punto del lato	Non si distingue il lato dal vertice opposto	Si ottiene una perpendicolare, ma non l’altezza richiesta	Imporre il passaggio per il vertice opposto	Controllare che il vertice soddisfi l’equazione
Calcolare una distanza prima di trovare il piede	Si tratta l’altezza come un numero e non come oggetto geometrico	Non si controlla dove cade il segmento	Determinare prima la retta e il punto di intersezione	Il piede deve appartenere a entrambe le rette
Accettare il primo risultato numerico	Manca una verifica indipendente	Un errore di segno può restare nascosto	Usare anche la distanza punto-retta	I due metodi devono dare la stessa lunghezza

Figura 2 Procedura operativa per costruire e verificare un’altezza nel piano cartesiano

Da osservare: il piede dell’altezza non coincide in generale con il punto medio del lato e una direzione ottenuta cambiando soltanto il segno della pendenza non è, in generale, perpendicolare. Elaborazione ES deterministica.

Attenzione
Un valore positivo per una lunghezza non dimostra che la costruzione geometrica sia corretta. La verifica deve riguardare anche perpendicolarità e appartenenza del piede alle due rette.

6 Soluzione svolta passo per passo

6.1 Passaggio 1 — Equazione del lato di riferimento

Calcoliamo prima il coefficiente angolare della retta che passa per i primi due vertici.

m_{AB}=\frac{4-1}{5-(-1)}

Semplificando:

m_{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

Usiamo ora uno dei due punti per scrivere l’equazione della retta.

y=-1= \frac{1}{2}(x+1)

Portando L’equazione in forma implicita si ottiene:

x-2y+3=0

Questa retta contiene il lato rispetto al quale vogliamo costruire l’altezza.

Controllo locale — La retta trovata deve contenere entrambi i vertici che definiscono il lato di riferimento.

6.2 Passaggio 2 — Direzione dell’altezza

L’altezza deve essere perpendicolare alla retta appena determinata. Il coefficiente angolare della perpendicolare è quindi il reciproco opposto.

m_h=-2

L’altezza deve inoltre passare per il terzo vertice. Scriviamo quindi la retta con coefficiente angolare negativo e passante per quel punto.

y-5=-2(x-2)

Sviluppando:

y=-2x+9

La forma implicita equivalente è:

2x+y-9=0

Controllo locale — La retta costruita deve passare per il vertice opposto e avere direzione perpendicolare al lato.

6.3 Passaggio 3 — Piede dell’altezza

Il piede dell’altezza appartiene sia al lato sia alla retta dell’altezza. Risolviamo quindi il sistema.

\left\{ \begin{array}{l} x-2y+3=0 \\ 2x+y-9=0 \end{array} \right.

Dalla seconda equazione possiamo esprimere la coordinata verticale.

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Altezza di un triangolo nel piano cartesiano

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