Esercizio svolto sulle circonferenze concentriche

Esercizio svolto su centro, passaggio per un punto e tangenza a una retta

1 Introduzione

In geometria analitica, due circonferenze sono concentriche quando hanno lo stesso centro. Cambia il raggio, ma non cambia il punto attorno al quale la circonferenza è costruita.

L’esercizio richiede di partire da una circonferenza data e costruire due nuove circonferenze con lo stesso centro: una deve passare per un punto assegnato, l’altra deve essere tangente a una retta.

Il punto operativo è riconoscere che la famiglia delle circonferenze concentriche mantiene fissi i coefficienti lineari dell’equazione, mentre cambia il termine noto.

Scopo didattico ricavare il centro di una circonferenza dalla forma implicita; costruire la famiglia delle circonferenze concentriche; imporre il passaggio per un punto; imporre la tangenza a una retta tramite la distanza centro-retta; verificare il risultato con forma canonica e controllo geometrico.

Prerequisiti equazione generale della circonferenza; completamento del quadrato; distanza tra due punti; distanza di un punto da una retta; significato geometrico di tangenza.

2 Testo dell’esercizio

Consideriamo la circonferenza

x^2+y^2+6x-2y+1=0

Determina

Quella passante per \(A(0;−3)\);

La seconda è tangente alla retta \(4x+3y+4=0\);

3 Strategia risolutiva

Una circonferenza nella forma

x^2+y^2+6x-2y+\gamma=0

Ha centro:

C ( – \frac{ \alpha}{2}, \frac{ \beta}{2} )

Nel caso dato i coefficienti sono:

\alpha = 6 \; \; \; \; \; \; \; \; \beta=-2

Quindi il centro è:

C – ( \frac{6}{2}, – \frac{-2}{2} ) = C(-3,1)

Idea chiave Tutte le circonferenze concentriche alla circonferenza data devono avere centro \(C(-3,1)\) . Di conseguenza conservano gli stessi coefficienti di x e y e differiscono solo per il termine noto.

La famiglia cercata ha quindi forma

x^2+y^2+6x-2y+\gamma=0

3.1 Forma canonica della famiglia

Per controllare il raggio, conviene riscrivere la famiglia in forma canonica. Completiamo i quadrati:

\begin{aligned} x^2+6x &= (x+3)^2-9 \\ y^2-2y &= (y-1)^2-1 \end{aligned}

Sostituendo:

\begin{aligned} (x+3)^2-9+(y-1)^2-1+y &= 0 \\ (x+3)^2+(y-1)^2 &= 10-y \end{aligned}

Relazione operativa Per ogni circonferenza concentrica a quella data vale: \(r^2=10-y\).

3.2 Circonferenza passate per \(A(0,-3)\).

La prima circonferenza ha centro \(C=(-3,1)\) e deve passare per \(A(0,-3)\). Se una circonferenza passa per A il suo raggio è la distanza tra il centro C e il punto A.

\bar{CA}

Calcoliamo la distanza:

\overline{CA}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5

\begin{aligned} \bar{CA} &= \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2} \\ \\ \bar{CA} &= \sqrt{(0-(-3))^2+(-3-1)^2} \\ \\ \bar{CA} &= \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \end{aligned}

Quindi:

r=5 ; \; \; \; \; \; r^2=25

Usiamo la relazione della famiglia:

\begin{array}{l} r^2=10-\gamma \\ 25=10-\gamma \\ \gamma=-15 \\ \\ risultato(1): x^2+y^2+6x-2y-15=0 \end{array}\\

x^2+y^2+6x-2y-15=0

In forma canonica

(x+3)^2+(y-1)^2=25

Verifica del passaggio per A

Sostituiamo \(A(0,-3)\) nell’equazione trovata. Il membro sinistro deve risultare uguale a zero.

0^2+(-3)^2+6\cdot0-2(-3)-15=9+6-15=0

3.3 Circonferenza tangente alla retta

La seconda circonferenza deve avere ancora centro \(C(-3;1)\) ma deve essere tangente alla retta:

4x+3y+4=0

Una circonferenza è tangente a una retta quando la distanza tra il centro della circonferenza e la retta è uguale al raggio.

r=d(C, retta)

La distanza di un punto \(P(x_0;y_0)\) dalla retta \(ax+by+c=0\) è

d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Nel nostro caso:

\begin{array}{l} a=4,\qquad b=3,\qquad c=4,\qquad C(-3,1) \\[6pt] d=\frac{|4(-3)+3(1)+4|}{\sqrt{4^2+3^2}} \\[10pt] d=\frac{|-12+3+4|}{\sqrt{16+9}}=\frac{5}{5}=1 \end{array}

La distanza tra il centro e la retta è 1. Quindi il raggio della circonferenza tangente è

r=1 \; \; \; \; r^2=1

Usiamo ancora la relazione

\begin{array}{l} r^2=10-\gamma \\[4pt] 1=10-\gamma \\[4pt] \gamma=9 \end{array}

\text{Risultato 2: }\; x^2+y^2+6x-2y+9=0

x^2+y^2+6x-2y+9=0

In forma canonica:

(x+3)^2+(y-1)^2=1

Verifica della tangenza

La circonferenza trovata ha centro \(C(-1,1)\) e raggio \(r=1\) la distanza dal centro dalla retta è \(d=1\) poiché \(d=r\) la retta è tangente alla circonferenza.

3.4 Controllo grafico deterministico

La figura seguente è stata generata con calcolo deterministico, non con immagine generativa. Mostra il centro comune, la circonferenza data, la circonferenza passante per A e quella tangente alla retta.

Figura 1 – Controllo geometrico: centro comune C(-3,1), punto A(0,-3), retta tangente e raggi verificati.

3.5 Metodo alternativo: sistema con discriminante nullo

La tangenza può essere controllata anche imponendo che il sistema tra retta e circonferenza abbia una sola soluzione. Questo metodo è corretto, ma più lungo e più esposto a errori di segno.

\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+6x-2y+\gamma=0 \\ 4x+3y+4=0 \end{array} \right.

dalla retta si ricava

y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}

Sostituendo nella circonferenza:

x^2+\left(-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\right)^2+6x-2\left(-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\right)+\gamma=0

Dopo lo sviluppo:

\frac{25}{9}x^2+\frac{110}{9}x+\frac{40}{9}+\gamma=0

Moltiplicando per 9:

25x^2+110x+40+9\gamma=0.

Per la tangenza deve esserci una sola soluzione, quindi il discriminante deve essere nullo:

\begin{array}{l} \Delta=0 \\[4pt] 110^2-4\cdot25\cdot(40+9\gamma)=0 \\[4pt] 12100-100(40+9\gamma)=0 \\[4pt] 8100-900\gamma=0 \\[4pt] \gamma=9 \end{array}

Controllo sul metodo alternativo Il metodo con il discriminante conferma lo stesso valore ottenuto con la distanza centro-retta. Per questo esercizio la distanza è il metodo preferibile: usa direttamente il significato geometrico di tangenza.

4 Errori frequenti

Errore 1 – Cambiare il centro senza accorgersene Se una circonferenza deve essere concentrica a quella data, i coefficienti dei termini in x e y devono restare invariati. Cambiando quei coefficienti, cambia il centro.

Errore 2 – Confondere punto di passaggio e centro Il punto \(A(0,-3)\) non è il centro della circonferenza. È un punto della circonferenza. Il raggio si ottiene quindi dalla distanza \( \bar{CA}\)

Errore 3 – Non usare la distanza centro-retta Per una circonferenza tangente a una retta vale \(d (C,retta)=r\). Se il centro è noto, questa è la strada più diretta.

Errore 4 – Sbagliare il quadrato nel metodo algebrico Nel metodo con il discriminante bisogna sviluppare correttamente il quadrato della sostituzione. Il termine misto è positivo perché nasce dal prodotto di due termini negativi.
\( ( – \frac{4}{3}x- \frac{4}{3})^2= \frac{16}{9} x^2+ \frac{32}{9}x+ \frac{16}{9}\)

5 Metodo generale da ricordare

Per una circonferenza

x^2+y^2+6x-2y+\gamma=0

Il centro è:

C ( – \frac{ \alpha}{2}, \frac{ \beta}{2} )

Le circonferenze concentriche hanno lo stesso centro. Quindi mantengono gli stessi coefficienti lineari e modificano solo il termine noto, che determina il raggio.

Procedura controllata Ricava il centro della circonferenza di partenza. Scrivi la famiglia delle circonferenze con lo stesso centro. Se è dato un punto, imponi il raggio come distanza centro-punto. Se è data una retta tangente, imponi il raggio come distanza centro-retta. Torna alla forma implicita e verifica il risultato.

AI come supporto, non come sostituto del controllo ChatGPT può aiutare a impostare l’esercizio, ma non deve sostituire il ragionamento. Per esercizi sulle circonferenze concentriche non chiedere solo “risolvi”: chiedi di mostrare centro, famiglia delle circonferenze, condizione di passaggio, condizione di tangenza e verifica finale. Controlla sempre che il centro resti lo stesso e che il raggio venga calcolato con una distanza coerente con il vincolo richiesto.
\(AI=supporto\)
\(studio\; = metodo \; + \; verifica \; + autonomia \)

6 Come usare ChatGPT per questo tipo di esercizio

Questa sezione non serve a delegare lo svolgimento all’AI. Serve a usare ChatGPT come strumento di controllo: deve aiutare a verificare centro, famiglia di circonferenze, condizioni imposte e coerenza finale.

Obiettivo corretto: non chiedere solo il risultato, ma chiedere criterio, impostazione, verifica e controllo degli errori. In questo esercizio ChatGPT deve essere usato per controllare se la soluzione conserva il centro e se il raggio è coerente con la condizione geometrica.

6.1 Prompt da evitare

Evitare una richiesta generica come:

“Risolvimi questo esercizio.”

Questa formulazione può produrre una risposta formalmente convincente, ma non obbliga il modello a mostrare perché il centro resta invariato, come si determina il raggio e quali verifiche concludono davvero il problema.

6.2 Prompt utile da usare

“Devo risolvere un esercizio sulle circonferenze concentriche. Non darmi solo il risultato: 1) trova il centro della circonferenza data; 2) scrivi la famiglia delle circonferenze concentriche; 3) spiega come imporre il passaggio per un punto; 4) spiega come imporre la tangenza a una retta usando la distanza centro-retta; 5) verifica i risultati sostituendo i dati; 6) indicami gli errori di segno o di metodo più probabili.”

6.3 Checklist di controllo dopo la risposta AI

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