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Come dimostrare che un triangolo è isoscele quando l’altezza è anche mediana

Testo

Dimostra che se in un triangolo \(𝐴𝐵𝐶\) l’altezza \(𝐴𝐻\) relativa a \(𝐵𝐶\) è anche mediana relativa a \(𝐵𝐶\), allora il triangolo è isoscele.

Soluzione

ipotesi

\(𝐴𝐻\) è l’altezza.

\(𝐴𝐻\) è mediana.

1)Siccome \( \overline{A H}\) è mediana per il lato \( \overline{B C}\) si può affermare che \( \overline{B H}\) è congruente ad \( \overline{B H}\).

2)Siccome \( \overline{A H}\) è l’altezza per il lato \( \overline{B C}\) si può affermare che \(\widehat{B H A}\) è congruente \(\widehat{C H A}\).

3)Siccome \( \overline{A H}\) è l’altezza per il lato \( \overline{B C}\) i triangoli ABH e AHC sono rettangoli in H e hanno la stessa altezza pari ad \( \overline{A H}\).

4) Per il criterio di congruenza tra i triangoli rettangoli se due cateti sono uguali allora i due triangoli sono uguali. Poiché i triangoli ABH e AHC hanno i due cateti uguali allora sono congruenti.

5) Poiché i triangoli ABH e AHC sono congruenti allora la loro ipotenusa è uguale.

6) Essendo che l’ipotenusa dei triangoli ABH e AHC sono anche i lati obliqui del triangolo ABC allora i lati obliqui del triangolo ABC sono uguali.

7) Poiché i triangoli ABH e AHC sono congruenti tutti i lati interni sono congruenti e quindi: \(\widehat{A B C}\)= \(\widehat{B C A}\).

8) Poiché il triangolo ha gli angoli alla base \( \overline{B C}\) congruenti il triangolo ABC è sicuramente isoscele.