La dilatazione termica è un fenomeno fisico che si verifica in tutti i materiali, incluso nei liquidi e nei solidi. Quando la temperatura di un materiale cambia, esso può espandersi o contrarsi. Questo comportamento è governato da formule matematiche che descrivono la variazione di volume del materiale in funzione della temperatura. Nell’articolo che segue, esploreremo la formula di dilatazione liquida e volumica e vedremo come derivare le formule inverse che permettono di calcolare la variazione di temperatura necessaria per ottenere una determinata variazione di volume.
Ma prima di tutto ciò, vi segnaliamo di passare nei nostri consigli scritti proprio per voi: \( \rightarrow \) consigli
La formula che andremo a invertire
La formula di dilatazione, applicabile sia ai liquidi che ai solidi, è la seguente:
In cui:
- \( (V_{f})\) è il volume del liquido o del solido finale;
- \((V_{i})\) è il volume del liquido o del solido iniziale;
- \( (\Delta t = t_{f} – t_{i})\) è la differenza tra temperatura iniziale e finale;
- \(( \alpha )\) è il coefficiente di dilatazione termica del liquido o del solido.
Cosa devi conoscere
Per poter procedere dovresti sapere:
- come portare i termini a destra e sinistra dell’uguale dell’equazione;
- come isolare a destra o sinistra dell’uguale delle variabili moltiplicate o divise tra loro.
Se preferisci, ti lasciamo il video Youtube con la spiegazione delle formule inverse dilatazione liquida e volumica
Procedura di inversione
Di seguito si possono vedere tutte le formule inverse della menzionata.
| Grandezza cercata | Formula inversa |
|---|---|
| \( V_{i} \) | \( V_{i}=\frac{V_{f}}{(1+ \alpha \Delta t)} \) |
| \( \alpha \) | \( \alpha=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \Delta t} \) |
| \( \Delta t \) | \( \Delta t=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha} \) |
| \( t_{f} \) | \( t_{f} = \frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha } + t_{i} \) |
| \( t_{i} \) | \( t_{i} = t_{f} – \frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha} \) |
Per ricavare \( V_{i} \) nelle formule viste in precedenza:
Si divide a destra e a sinistra per la quantità \((1+\alpha \Delta t) \);
\((\frac{V_f}{(1+\alpha \Delta t)}=\frac{V_i(1+\alpha \Delta t)}{(1+\alpha \Delta t)})\)
Si semplifica.
\((\frac{V_f}{(1+\alpha \Delta t)}=\frac{V_i \cancel{(1+\alpha \Delta t)}}{ \cancel{(1+ \alpha \Delta t)}})\)
Per ricavare \((\alpha)\) nelle formule viste in precedenza:
Si riscrive la quantità \(V_{i}(1+\alpha \Delta t\)) come segue \(( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t)\);
\(V_f=V_i (1+\alpha \Delta t)\)
\(V_f=(V_i+V_i \alpha \Delta t)\)
Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \(( V_{i} )\);
\(V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t -V_i\)
Si semplifica;
\(V_i+V_f= \cancel{V_i}+V_i \alpha \Delta t \cancel{ -V_i}\)
\(-V_i+V_f=V_i \alpha \Delta t\)
Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \Delta t) \);
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \Delta t}\)
Si semplifica.
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}=\frac{\cancel{V_i} \alpha \cancel{\Delta t}}{\cancel{V_i \Delta t}}\)
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\alpha\)
\( \alpha=\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}\)
Per ricavare \( ( \Delta t)\) nelle formule viste in precedenza:
Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+ \alpha \Delta t)\) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
\(V_f=V_i(1+ \alpha \Delta t)\)
\(V_f=V_i 1+ \alpha \Delta t\)
Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);
\(-V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t-V_i\)
Si semplifica;
\(-V_i+V_f=V_i+ \cancel{V_i } \alpha \Delta t- \cancel{V_i}\)
\(V_i +V_f=V_i \alpha \Delta t\)
Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \Delta t )\);
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \Delta t}\)
Si semplifica.
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{\cancel{V_i} \alpha \cancel{ \Delta t}}{\cancel{V_i \Delta t}}\)
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}= \alpha\)
\(\alpha=\frac{V_f-V_i}{V_i \Delta t}\)
Per ricavare \( (t_{f}) \)nelle formule viste in precedenza:
Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t)\) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
\(V_f=V_i(1+\alpha \Delta t)\)
\(V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t\)
Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);
\(-V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t =V_i\)
Si semplifica;
\(-V_i+V_f=V_i+\cancel{V_i} \alpha \Delta t =\cancel{V_i}\)
\(-V_i+V_f=V_i \alpha \Delta t\)
Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha )\);
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \alpha}\)
Si semplifica;
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{\cancel{V_i \alpha }\Delta t}{\cancel{V_i \alpha}}\)
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\Delta t\)
\(\Delta t= \frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)
Si considera che \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \);
\(t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)
Si aggiunge a destra e a sinistra per la quantità \( (t_{i} )\);
\(t_i+t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}+ t_i\)
Si semplifica.
\( \cancel{t_i}+t_f-\cancel{t_i}=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}+ t_i\)
Per ricavare \( t_{i} \):
Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t)\) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
\(V_f=V_i (1+\alpha \Delta t)\)
\(V_f=V_i 1+\alpha \Delta t\)
Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i}\; \);
\(-V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t- V_i\)
Si semplifica;
\(-V_i+V_f=V_i+\cancel{V_i }\alpha \Delta t-\cancel{ V_i}\)
\(-V_i+V_f=V_i \alpha \Delta t\)
Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha ) \);
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \alpha}\)
Si semplifica;
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{\cancel{V_i \alpha} \Delta t}{\cancel{V_i \alpha}}\)
\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}= \Delta t\)
\(\Delta t=\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}\)
Si considera che \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \);
\(t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)
Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( t_{f} \);
\(-t_f+t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}-t_f\)
Si semplifica;
\(\cancel{-t_f+t_f}-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}-t_f\)
\(-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}-t_f\)
Si moltiplica a destra e a sinistra per -1.
\(t_i=t_f-\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)
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