Come ricavare le formule inverse della formula di dilatazione liquida e volumica

La dilatazione termica è un fenomeno fisico che si verifica in tutti i materiali, incluso nei liquidi e nei solidi. Quando la temperatura di un materiale cambia, esso può espandersi o contrarsi. Questo comportamento è governato da formule matematiche che descrivono la variazione di volume del materiale in funzione della temperatura. Nell’articolo che segue, esploreremo la formula di dilatazione liquida e volumica e vedremo come derivare le formule inverse che permettono di calcolare la variazione di temperatura necessaria per ottenere una determinata variazione di volume.

Ma prima di tutto ciò, vi segnaliamo di passare nei nostri consigli scritti proprio per voi: (rightarrow) consigli

La formula che andremo a invertire

La formula di dilatazione, applicabile sia ai liquidi che ai solidi, è la seguente:

Formula di dilatazione applicabile sia ai liquidi che ai solidi (formule matematiche)

In cui:

( V_{f}) è il volume del liquido o del solido finale;
( V_{i}) è il volume del liquido o del solido iniziale;
( Delta t = t_{f} – t_{i} ) è la differenza tra temperatura iniziale e finale;
( alpha ) è il coefficiente di dilatazione termica del liquido o del solido.

Cosa devi conoscere

Per poter procedere dovresti sapere:

come portare i termini a destra e sinistra dell’uguale dell’equazione;
come isolare a destra o sinistra dell’uguale delle variabili moltiplicate o divise tra loro.

Se preferisci, ti lasciamo il video Youtube con la spiegazione delle formule inverse dilatazione liquida e volumica

Procedura di inversione

Di seguito si possono vedere tutte le formule inverse della menzionata.

Grandezza cercata	Formula inversa
( V_{i} )	( V_{i}=frac{V_{f}}{(1+alpha Delta t)} )
( alpha )	( alpha=frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} Delta t} )
( Delta t )	( Delta t=frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} alpha} )
( t_{f} )	( t_{f} = frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} alpha } + t_{i} )
( t_{i} )	( t_{i} = t_{f} – frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} alpha} )

Formule inverse Tabella

CLICCA QUI PER SCARICARE LE FORMULE INVERSE E GLI APPUNTI

Per ricavare ( V_{i} ) nelle formule viste in precedenza:

Si divide a destra e a sinistra per la quantità ( (1+alpha Delta t) );

(frac{V_f}{(1+alpha Delta t)}=frac{V_i(1+alpha Delta t)}{(1+alpha Delta t)})

Si semplifica.

(frac{V_f}{(1+alpha Delta t)}=frac{V_icancel{(1+alpha Delta t)}}{cancel{(1+alpha Delta t)}})

Per ricavare ( alpha ) nelle formule viste in precedenza:

Si riscrive la quantità ( V_{i}(1+alpha Delta t) ) come segue ( V_{i} + V_{i} alpha Delta t );

(V_f=V_i (1+alpha Delta t))

(V_f=V_i+V_i alpha Delta t)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità ( V_{i} );

(V_i+V_f=V_i+V_i alpha Delta t -V_i)

Si semplifica;

(V_i+V_f=cancel{V_i}+V_i alpha Delta t cancel{ -V_i})

(-V_i+V_f=V_i alpha Delta t)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità ( ( V_{i} Delta t) );

(frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}=frac{V_i alpha Delta t}{V_i Delta t})

Si semplifica.

(frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}=frac{cancel{V_i} alpha cancel{Delta t}}{cancel{V_i Delta t}})

(frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}=alpha)

( alpha=frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t})

Per ricavare ( Delta t ) nelle formule viste in precedenza:

Si riscrive la quantità ( V_{i}(1+alpha Delta t) ) come segue ( V_{i} + V_{i} alpha Delta t );

(V_f=V_i(1+ alpha Delta t))

(V_f=V_i 1+ alpha Delta t)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità ( V_{i} );

(-V_i+V_f=V_i+V_i alpha Delta t-V_i)

Si semplifica;

(-V_i+V_f=V_i+ cancel{V_i }alpha Delta t- cancel{V_i})

(V_i +V_f=V_i alpha Delta t)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità ( ( V_{i} Delta t ) );

(frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}=frac{V_i alpha Delta t}{V_i Delta t})

Si semplifica.

(frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}=frac{cancel{V_i} alpha cancel{ Delta t}}{cancel{V_i Delta t}})

(frac{-V_i+V_f}{V_i Delta t}= alpha)

(alpha=frac{V_f-V_i}{V_i Delta t})

Per ricavare ( t_{f})nelle formule viste in precedenza:

Si riscrive la quantità ( V_{i}(1+alpha Delta t) ) come segue ( V_{i} + V_{i} alpha Delta t );

(V_f=V_i(1+alpha Delta t))

(V_f=V_i+V_i alpha Delta t)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità ( V_{i} );

(-V_i+V_f=V_i+V_i alpha Delta t =V_i)

Si semplifica;

(-V_i+V_f=V_i+cancel{V_i} alpha Delta t =cancel{V_i})

(-V_i+V_f=V_i alpha Delta t)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità ( ( V_{i} alpha ) );

(frac{-V_i+V_f}{V_i alpha}=frac{V_i alpha Delta t}{V_i alpha})

Si semplifica;

(frac{-V_i+V_f}{V_i alpha}=frac{cancel{V_i alpha }Delta t}{cancel{V_i alpha}})

(frac{-V_i+V_f}{V_i alpha}=Delta t)

(Delta t= frac{V_f-V_i}{V_i alpha})

Si considera che ( Delta t = t_{f} – t_{i} );

(t_f-t_i=frac{V_f-V_i}{V_i alpha})

Si aggiunge a destra e a sinistra per la quantità ( t_{i} );

(t_i+t_f-t_i=frac{V_f-V_i}{V_i alpha}+ t_i)

Si semplifica.

( cancel{t_i}+t_f-cancel{t_i}=frac{V_f-V_i}{V_i alpha}+ t_i)

Per ricavare ( t_{i} ):

Si riscrive la quantità ( V_{i}(1+alpha Delta t) ) come segue ( V_{i} + V_{i} alpha Delta t );

(V_f=V_i (1+alpha Delta t))

(V_f=V_i 1+alpha Delta t)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità ( V_{i} );

(-V_i+V_f=V_i+V_i alpha Delta t- V_i)

Si semplifica;

(-V_i+V_f=V_i+cancel{V_i }alpha Delta t-cancel{ V_i})

(-V_i+V_f=V_i alpha Delta t)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità ( ( V_{i} alpha ) );

(frac{-V_i+V_f}{V_i alpha}=frac{V_i alpha Delta t}{V_i alpha})

Si semplifica;

(frac{-V_i+V_f}{V_i alpha}=frac{cancel{V_i alpha} Delta t}{cancel{V_i alpha}})

(frac{-V_i+V_f}{V_i alpha}= Delta t)

(Delta t=frac{-V_i+V_f}{V_i alpha})

Si considera che ( Delta t = t_{f} – t_{i} );

(t_f-t_i=frac{V_f-V_i}{V_i alpha})

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità ( t_{f} );

(-t_f+t_f-t_i=frac{V_f-V_i}{V_i alpha}-t_f)

Si semplifica;

(cancel{-t_f+t_f}-t_i=frac{V_f-V_i}{V_i alpha}-t_f)

(-t_i=frac{V_f-V_i}{V_i alpha}-t_f)

Si moltiplica a destra e a sinistra per -1.

(t_i=t_f-frac{V_f-V_i}{V_i alpha})

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