Come ricavare le formule inverse della formula di dilatazione liquida e volumica

La formula che andremo a invertire

La formula di dilatazione, applicabile sia ai liquidi che ai solidi, è la seguente:

In cui:

• \( V_{f}\) è il volume del liquido o del solido finale;
• \( V_{i}\) è il volume del liquido o del solido iniziale;
• \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \) è la differenza tra temperatura iniziale e finale;
• \( \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica del liquido o del solido.

Cosa devi conoscere

Per poter procedere dovresti sapere:

• come portare i termini a destra e sinistra dell’uguale dell’equazione;
• come isolare a destra o sinistra dell’uguale delle variabili moltiplicate o divise tra loro.

Se preferisci, ti lasciamo il video Youtube con la spiegazione delle formule inverse dilatazione liquida e volumica

Procedura di inversione

Di seguito si possono vedere tutte le formule inverse della menzionata.

Grandezza cercata	Formula inversa
\( V_{i} \)	\( V_{i}=\frac{V_{f}}{(1+\alpha \Delta t)} \)
\( \alpha \)	\( \alpha=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \Delta t} \)
\( \Delta t \)	\( \Delta t=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha} \)
\( t_{f} \)	\( t_{f} = \frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha } + t_{i} \)
\( t_{i} \)	\( t_{i} = t_{f} – \frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha} \)

Per ricavare \( V_{i} \) nelle formule viste in precedenza:

Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( (1+\alpha \Delta t) \);

\(\frac{V_f}{(1+\alpha \Delta t)}=\frac{V_i(1+\alpha \Delta t)}{(1+\alpha \Delta t)}\)

Si semplifica.

\(\frac{V_f}{(1+\alpha \Delta t)}=\frac{V_i\cancel{(1+\alpha \Delta t)}}{\cancel{(1+\alpha \Delta t)}}\)

Per ricavare \( \alpha \) nelle formule viste in precedenza:

Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);

\(V_f=V_i (1+\alpha \Delta t)\)

\(V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t\)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);

\(V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t -V_i\)

Si semplifica;

\(V_i+V_f=\cancel{V_i}+V_i \alpha \Delta t \cancel{ -V_i}\)

\(-V_i+V_f=V_i \alpha \Delta t\)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \Delta t) \);

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \Delta t}\)

Si semplifica.

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{\cancel{V_i} \alpha \cancel{\Delta t}}{\cancel{V_i \Delta t}}\)

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\alpha\)

\( \alpha=\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}\)

Per ricavare \( \Delta t \) nelle formule viste in precedenza:

Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);

\(V_f=V_i(1+ \alpha \Delta t)\)

\(V_f=V_i 1+ \alpha \Delta t\)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);

\(-V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t-V_i\)

Si semplifica;

\(-V_i+V_f=V_i+ \cancel{V_i }\alpha \Delta t- \cancel{V_i}\)

\(V_i +V_f=V_i \alpha \Delta t\)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \Delta t ) \);

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \Delta t}\)

Si semplifica.

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}=\frac{\cancel{V_i} \alpha \cancel{ \Delta t}}{\cancel{V_i \Delta t}}\)

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \Delta t}= \alpha\)

\(\alpha=\frac{V_f-V_i}{V_i \Delta t}\)

Per ricavare \( t_{f}\)nelle formule viste in precedenza:

Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);

\(V_f=V_i(1+\alpha \Delta t)\)

\(V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t\)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);

\(-V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t =V_i\)

Si semplifica;

\(-V_i+V_f=V_i+\cancel{V_i} \alpha \Delta t =\cancel{V_i}\)

\(-V_i+V_f=V_i \alpha \Delta t\)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha ) \);

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \alpha}\)

Si semplifica;

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{\cancel{V_i \alpha }\Delta t}{\cancel{V_i \alpha}}\)

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\Delta t\)

\(\Delta t= \frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)

Si considera che \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \);

\(t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)

Si aggiunge a destra e a sinistra per la quantità \( t_{i} \);

\(t_i+t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}+ t_i\)

Si semplifica.

\( \cancel{t_i}+t_f-\cancel{t_i}=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}+ t_i\)

Per ricavare \( t_{i} \):

Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);

\(V_f=V_i (1+\alpha \Delta t)\)

\(V_f=V_i 1+\alpha \Delta t\)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);

\(-V_i+V_f=V_i+V_i \alpha \Delta t- V_i\)

Si semplifica;

\(-V_i+V_f=V_i+\cancel{V_i }\alpha \Delta t-\cancel{ V_i}\)

\(-V_i+V_f=V_i \alpha \Delta t\)

Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha ) \);

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{V_i \alpha \Delta t}{V_i \alpha}\)

Si semplifica;

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}=\frac{\cancel{V_i \alpha} \Delta t}{\cancel{V_i \alpha}}\)

\(\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}= \Delta t\)

\(\Delta t=\frac{-V_i+V_f}{V_i \alpha}\)

Si considera che \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \);

\(t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)

Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( t_{f} \);

\(-t_f+t_f-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}-t_f\)

Si semplifica;

\(\cancel{-t_f+t_f}-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}-t_f\)

\(-t_i=\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}-t_f\)

Si moltiplica a destra e a sinistra per -1.

\(t_i=t_f-\frac{V_f-V_i}{V_i \alpha}\)

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