Come calcolare la corrente e la carica di una spira rotante in un campo magnetico costante.

Le fasi seguenti mostrano un procedimento generico per la risoluzione di un problema che chiede il calcolo della corrente e della quantità di carica in una spira rotante immersa in un campo magnetico.

In questo caso si suppone di essere a conoscenza del valore di campo magnetico, della superficie della spira, della frequenza di rotazione della spira e del tempo desiderato.

Fase 1: Flusso del campo magnetico

Supponiamo di avere una spira rotante immersa in un campo magnetico e che si voglia calcolare il valore di corrente che vi scorre nonché la quantità di carica nell’unità di tempo.

Per calcolare il flusso del campo magnetico attraverso la spira si tiene in considerazione che:

\( \Phi(\vec{B}) = \vec{B} \cdot \vec{S} = \left \| \vec{B} \right \| \left \| \vec{S} \right \| \cos \alpha\)

In cui:

• \( \Phi(\vec{B})\) è il flusso del campo magnetico attraverso la superficie \( S \)  della spira;
•  \( \vec{B}\) è il vettore campo magnetico che fluisce attraverso la spira e il suo modulo viene indicato con \( \left\| \vec{B} \right\| \);
• \( \vec{S}\) è il vettore superficie della spira. Tale vettore è perpendicolare alla superficie della spira e il suo modulo, indicato con \( \left\| \vec{S} \right\| \) è uguale alla superficie della spira;
• \( \alpha \) è l’angolo compreso tra il vettore \( \vec{B}\) e il vettore \( \vec{S}\), come indicato in Figura 1.

La formula appena mostrata rappresenta un calcolo di prodotto scalare tra il vettore campo magnetico \( \vec{B} \) e il vettore superficie \( \vec{S} \) . Tale formula serve per tenere in considerazione il flusso del campo magnetico tramite una superficie \( S \), la quale rappresenta la superficie della spira.

Ad ogni superficie può essere attribuito un vettore a essa perpendicolare, scelto in modo tale che il modulo sia pari all’area di \( S \). Tale vettore viene indicato con \( \vec{S} \) e la sua definizione è funzionale al calcolo del flusso del campo magnetico attraverso la superficie \( S \). Ricordiamo che il flusso del campo magnetico è una quantità scalare, infatti è il risultato di un prodotto scalare, cioè il prodotto tra due vettori che restituisce uno scalare.

Fase 2: introdurre la rotazione nella formula del flusso

La quantità ( \alpha \) del nostro prodotto scalare è pari a:

\( \alpha = \omega t \)

In cui:

•  \( \omega \) è la frequenza di rotazione della spira;
•  \( t \) è il tempo trascorso.

E quindi il flusso del campo magnetico può essere riscritto come segue:

\( \Phi(\vec{B}) = \vec{B} \cdot \vec{S} = \left \| \vec{B} \right \| \left \| \vec{S} \right \| \cos \omega t \)

Fase 3: calcolo della forza elettromotrice nella spira

Ricordando che la forza elettromotrice, per la legge di Faraday, è la derivata del flusso del campo magnetico rispetto al tempo:

\( f_{em} = – \frac {d \Phi(\vec{B})}{dt}\)

Sostituendo si ha:

\( f_{em} = – \frac {d ( \left \| \vec{B} \right \| \left \| \vec{S} \right \| \cos \omega t )}{dt} = \omega \left \| \vec{B} \right \| \left \| \vec{S} \right \| \sin \omega t \)

Fase 4: Corrente istante per istante

E quindi, per via della prima legge di Ohm, che ricordiamo essere \( V=RI \), si può scrivere:

\( i(t) = \frac{\omega \left \| \vec{B} \right \| \left \| \vec{S} \right \|}{R} \cdot \sin \omega t \)

La corrente in una spira rotante varia e quindi nel caso in cui la si volesse calcolare in un momento generico è necessario conoscere:

• Il valore di resistenza \( R \) della spira;
• L’area della superficie \( S \), o comunque deve poter essere calcolata;
• La frequenza \( \omega \) con la quale gira la spira;
• Il tempo \( t \) nel quale si vuole calcolare il valore di corrente;
• Il modulo \( \left \| \vec{B} \right \| \) del campo magnetico nella quale è immersa la spira.

Per capire meglio le discussioni sulla funzione seno si faccia riferimento a questo link.

Fase 5: calcolo della quantità di carica

Per calcolare la quantità di carica che passa attraverso la spira in un intervallo di tempo prestabilito bisogna integrare nell’intervallo di tempo desiderato:

\( Q=\int^{t_2}_{t_1}{i\left(t\right)dt}=\int^{t_2}_{t_1}{\frac{\omega \left \| \vec{B} \right \| \left \| \vec{S} \right \|}{R} \cdot \sin \omega t}dt \)