Testo
Quale è la superficie totale di una piramide a base quadrata con altezza di \( 15 \sqrt{3} cm\) e che forma un angolo di 30° con l’apotema? ( a fine pagina trovi il link per il video di you tube!)
Che cosa è una piramide?
Parliamo di un solido geometrico tridimensionale, che ha una base quadrata e quattro facce triangolari che convergono verso un unico punto chiamato apice. In altre parole, la piramide a base quadrata è costituita da una base quadrata e quattro triangoli laterali che si uniscono all’apice della piramide.
Geometricamente, puoi immaginare la figura, come un poliedro che ha una base quadrata posizionata su un piano orizzontale, con i quattro lati della base che si estendono verticalmente verso l’alto e si uniscono all’apice per formare quattro triangoli laterali. L’apice è il punto più alto della piramide, mentre la base quadrata è il piano più basso.
Questa figura geometrica è molto comune nella geometria e nell’architettura, ad esempio, alcune piramidi egizie come la Piramide di Cheope sono a base quadrata. La forma piramidale a base quadrata viene anche utilizzata nella costruzione di tetto a piramide, nei giochi di ruolo come i dadi a forma di piramide e in molti altri contesti.
Soluzione
La superficie totale del solido è data dalla somma dell’area di 4 triangoli \( 4\cdot A_T\) (quelli sulla superficie laterale) e un quadrato \( A_Q \) (quello alla base).
Dai dati del problema si può immediatamente calcolare l’altezza di un triangolo sulla faccia laterale \( h_{t,l} \) come segue:
\( h_{t,l} = \frac {15 \sqrt{3}}{\cos{(30)}} = 30 \)
Inoltre è possibile ricavare immediatamente metà del lato del quadrato tramite la formula:
\( \frac{l}{2} = h_{t,l} \cdot \sin{(30)} = 15 \)
Per calcolare la superficie di uno dei triangoli si effettua il calcolo:
\( A_T = \frac {h_{t,l} \cdot l}{2} = \frac {30\cdot30}{2} =450 \)
Per calcolare la superficie del quadrato alla base si effettua il calcolo:
\( {A_Q = l \cdot l = 900} \)
La superficie totale \( S_{tot} \) è data da:
\( S_{tot} = 4\cdot A_T + A_Q = 4\cdot450+900 =2700\)
Quindi la superficie totale del solido è di \( 2700 cm^2 \)
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