Andiamo a vedere come trovare la posizione reciproca tra due piani, analisi di un caso pratico.

Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni cartesiane:

Stabilisci se i due piani sono paralleli, incidenti oppure coincidenti, motivando la risposta attraverso un’analisi rigorosa delle equazioni.

1        Consigli per il Problem Solving

Nell’affrontare esercizi sulla posizione reciproca di piani è frequente cadere in alcuni errori tipici, spesso sottovalutati. Il primo riguarda la proporzionalità tra i coefficienti: molti studenti si concentrano soltanto sui termini delle variabili e dimenticano di verificare il termine noto. In questo modo si finisce per dichiarare coincidenti due piani che in realtà sono soltanto paralleli. Un secondo errore ricorrente riguarda la costruzione del vettore normale: basta trascrivere male un coefficiente e tutta la catena logica viene compromessa. Per evitarlo conviene riscrivere i coefficienti con ordine, magari in colonna, così da rendere immediata la verifica delle proporzioni.

Un’altra trappola comune è la conclusione affrettata perché si scambia per parallelismo una semplice somiglianza di coefficienti, senza controllare attentamente la condizione completa. È bene ricordare che la procedura corretta si sviluppa in due passaggi. Per prima cosa si deve controllare la proporzionalità dei vettori normali, e solo in un secondo momento si deve verificare se anche i termini noti rispettano la stessa proporzione.

Esistono poi errori più sottili, che potremmo definire quasi “assurdi”. Alcuni studenti confondono l’equazione di un piano con quella di una retta o addirittura con quella di una superficie di altro tipo. Altri dimenticano che due piani non possono incontrarsi in un punto, ma sempre lungo una retta, a meno che non coincidano. Altri ancora, infine, trascurano di verificare la plausibilità geometrica della soluzione, accettando senza dubbi conclusioni impossibili.

Per ridurre al minimo questi rischi, il miglior controllo finale consiste nel chiedersi se la risposta ottenuta sia coerente con la geometria dello spazio. Se il risultato sembra descrivere un oggetto o una situazione che non può esistere, è segno che da qualche parte è stato commesso un errore.

Soluzione

Per determinare la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti( a), (b)  e ( c). Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0\)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\( \overrightarrow{n} (a;b;c)\)

Si ricorda quanto segue:

Va osservato che i piani incidenti non sono necessariamente perpendicolari perché l’ortogonalità è un caso particolare che si verifica soltanto quando il prodotto scalare dei vettori normali è nullo.

Siccome è evidente che non rientrano nel caso dei coincidenti si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

\( \overrightarrow{n}_1(1;-1;2)\) \( \overrightarrow{n}_2 (2;-2,8)\)

Notiamo che i primi due rapporti \( \frac{1}{2}\) e \( \frac{-1}{-2}\) sono uguali, mentre il terzo rapporto \( \frac{2}{8}\) non è uguale ai precedenti. Questo significa che i due vettori non sono proporzionali e quindi i piani non possono essere né paralleli né coincidenti.

Per calcolare il prodotto scalare tra i due vettori basta procedere come segue:

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Posizione reciproca tra due piani: analisi di un caso pratico

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