Stabilisci la posizione reciproca di questi due piani

Nel mondo della geometria e della matematica, l’analisi della posizione reciproca di piani è un argomento fondamentale. In questo articolo, esploreremo diverse tecniche e strategie per stabilire la posizione reciproca di due piani in uno spazio tridimensionale.

Testo

Supponiamo di avere due piani \( \pi_1\) e \( \pi_2\) cosi definiti

\(\pi_1 : -x-y+3z=0; \pi : 3x – y + 3z + 1=0 \)

Soluzione

Per determinare la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti \( a \), \( b \) e \( c \). Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0 \)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\( \overrightarrow{n}(a;b;c) \)

Si ricorda quanto segue:

come stabilire la posizione reciproca di questi due piani esercizio scolastico, Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche — Tabella 1. Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche \( a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0 \) e \( a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0 \)

Siccome è evidente che non rientrano nel caso dei coincidenti si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

\( \vec{n_1}(-1;-1;3), \vec{n_2}(3;1;-3) \)

Per calcolare il prodotto scalare tra i due vettori basta procedere come segue:

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(3) + (-1)(1) + (3)(-3) = 13 \)

Quindi i due piani sono secanti.

Posizione dei due piani in figura

come stabilire la posizione reciproca di questi due piani esercizio scolastico — Figura 1 Posizione dei due piani del problema

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Soluzione

Posizione dei due piani in figura

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