Come determinare quando due piani sono perpendicolari

Testo

Come esempio per determinare quando due piani sono perpendicolari prendiamo in considerazione questi due piani:

\( \alpha : x-y+4=0\)

\(\beta : 4x – 4y + z + 4=0\)

Soluzione

Per determinare la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti \( a\), \(b\) e \( c\). Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0\)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\(n(a;b;c)\)

Si ricorda quanto segue:

Si prendano in considerazione i due vettori ai due piani:

\(\vec{n_1}(1;-1;0), \vec{n_2}(4;4;1)\)

Due normali sono perpepndicolari quando l’angolo tra di esse è di 90 gradi. In altre parole, se \(\vec{n_1}\) e (\vec{n_2}\) sono due normali di due piani diversi, allora (\vec{n_1}\) e (\vec{n_2}\) sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero. Il prodotto scalare tra due vettori è definito come la somma del prodotto dei loro componenti.

Per calcolare il prodotto scalare tra i due vettori basta procedere come segue:

Quando due normali di due piani sono perpendicolari..

Significa che i due piani sono inclinati l’uno rispetto all’altro in modo tale che l’angolo di inclinazione tra di essi sia di 90 gradi. Poiché la normale di un piano è un vettore che è perpendicolare a quel piano, l’essere perpendicolari significa che i due piani hanno normali che sono perpendicolari tra loro. Quindi i due piani sono perpendicolari.