Trova i coefficienti che rendono perpendicolari i due piani

Testo

Per trovare i coefficienti che rendono perpendicolari i due piani iniziamo a vedere il testo dell’esercizio:

Determina il valore dei coefficienti \(a\) e \(b\) del piano \(\pi_2\) in modo che sia perpendicolare al piano \(\pi_1\).

I piani sono così definiti:

\(\pi_1:3x+2y-1=0 \; \; \; \; \; \; \pi_2:ax+by-z=0\)

Soluzione

Il piano \(\pi_1\) è rappresentato nella figura seguente.

Per stabilire la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\). Si ricorda che l’equaione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0\)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\( n(a;b;c)\)

Si ricorda quanto segue:

Si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

\( \vec{n_1}(3;2;0), \vec{n_2}(n_x;n_y;n_z)\)

Deve ora essere imposto che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a zero:

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (3)(n_x) + (2)(n_y) + (0)(-1) = 3n_x+2n_y = 0\)

Quindi:

\(n_{x}  = – \frac{2}{3}n_y\)

A questo punto basta scegliere \( n_y\) a piacere e calcolare \( n_x\) dalla formula. Scegliamo per esempio:

\(n_{y}  = 1\)

Ciò significa che:

\( n_{x}  =- \frac{2}{3}\)

Quindi uno dei piani perpendicolari a\( \; \; 3x+2y-1=0\) è per esempio:

\( \frac{2}{3}x+y-z=0\)

Per verificare che la soluzione sia corretta basta ricalcolare il prodotto scalare \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\) e verificare che è uguale a zero.