Calcolo della Densità di un Campione Roccioso tramite Misurazione in Fluido

Testo

Un ricercatore desidera fare il calcolo della densità di un campione roccioso appena trovato. Prima lo pesa su una bilancia e ottiene una massa di 316 g. Successivamente, sospende il campione con un dinamometro e lo immerge in un fluido con densità di 830 kg/m³. Il dinamometro indica una forza corrispondente a una massa di 16 g. Qual è la densità del campione roccioso?

Soluzione

Per scoprire quale è la densità della roccia il geologo deve considerare che:

Dove:

• \(d_{rock}\) è la densità della roccia;
• \(m_{rock}\) è la massa della roccia;
• \(V_{rock}\) è il volume della roccia.
• \(m_{rock}\) è nota ed è la massa netta della bilancia prima dell’immersione della roccia nel liquido, quindi \(m_rock\) è pari a \(316g\).

Tuttavia \(V_{rock}\) non è noto, anche se è pari al volume del liquido spostato dalla roccia dopo l’immersione. Dal problema è possibile evincere che la roccia, una volta immersa, esercita comunque una forza-peso corrispondente a una massa di \(16g\).

Questo vuol dire non solo che la roccia è completamente immersa ma che la spinta di Archimede non è in grado di garantirne il galleggiamento. In pratica la roccia in questione tende ad andare sul fondo, perché la spinta di Archimede non è sufficiente a contrastarne la forza-peso.

La spinta di Archimede si calcola come segue:

\(F_{arch}= d_{liq} \; \; V_{liq} \; \; g \)

In cui:

• \(F_{arch}\) è la spinta di Archimede;
• \(d_{liq}\) è la densità del liquido data dal problema;
• \(V_{liq}\) è il volume del liqudo che la roccia ha spostato dopo l’immersione totale (nel nostro caso coincidente con il volume della roccia);
• \(g\) è l’accelerazione gravitazionale;

Nel nostro caso deve anche essere che:

\(F_{Arch}=F_{p.rock}-F_{after}\)

In cui:

• \(F_{Arch}\) è la spinta di Archimede;
• \(F_{p.rock}\) è la forza-peso della roccia;
• \(F_{after} \) è la forza letta dal dinamometro dopo l’immersione, che il problema dice essere equivalente a una forza-peso di \(16 g\).

Si può facilmente intuire che:

\(F_{after} = g \cdot 16 \cdot 10^{-3}Kg \approx 0.157 N\)

e che:

\(F_{p.rock} = g \cdot 316 \cdot 10^{-3}Kg \approx 3.1 N\)

E quindi che:

\(F_{Arch} = 3.1 N – 0.157N \approx 2.943 N\)

Per via della formula della spinta di Archimede già discussa si può quindi dire che:

\(V_{l i q}=\frac{F_{A r c h}}{d_{l i q} g}=\frac{2.943 \mathrm{~N}}{830 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} \cdot 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \approx 3.614 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^3\)

Ed essendo che \(V_{liq}= V_{rock}\) il geologo può ora sapere quanto vale \(d_{rock}\), infatti:

\(d_{rock}= \frac{m_{rock}}{V_{rock}}= \frac{0.316Kg}{3.614 \cdot 10^{-4}m^3} \approx 874.377 \frac{kg}{m^3}\)

Quindi la densità della roccia è di circa \(874.377 \frac{kg}{m^3}\)

Laboratorio Python per calcolo densità di un campione roccioso

Il seguente codice Python è stato sviluppato per calcolare la densità di un campione roccioso utilizzando il principio di Archimede e le misurazioni di massa prima e dopo l’immersione del campione in un fluido di densità nota. Il codice è strutturato in modo che gli studenti possano comprendere il processo di calcolo e simulare vari scenari modificando i parametri iniziali.

Descrizione del Codice:

• Importazione delle librerie: Viene importata la libreria numpy, utile per eventuali estensioni future del codice, e viene definita la costante dell’accelerazione gravitazionale g.
• Funzione calcola_densita_roccia: Questa funzione accetta tre parametri:
  • massa_rock: la massa del campione roccioso prima dell’immersione (in grammi).
  • massa_after: la massa letta dal dinamometro dopo l’immersione (in grammi).
  • densita_liquido: la densità del fluido in cui è immersa la roccia (in kg/m³).

La funzione converte le masse in chilogrammi, calcola le forze peso prima e dopo l’immersione, determina la spinta di Archimede, e infine calcola il volume e la densità del campione roccioso.

• Esempio di utilizzo: I valori forniti nell’esempio si basano sui dati dell’articolo, con una massa iniziale di 316 g, una massa dopo l’immersione di 16 g, e una densità del fluido di 830 kg/m³. Il risultato finale è la densità del campione roccioso, espressa in kg/m³.

Questo codice può essere utilizzato in contesti educativi per mostrare come la teoria fisica si applica a problemi reali di misurazione e calcolo. Inoltre, gli studenti possono facilmente modificare i valori di ingresso per esplorare come diversi parametri influenzano il risultato finale.

# Importazione delle librerie necessarie
import numpy as np

# Costante dell'accelerazione gravitazionale
g = 9.81  # m/s^2

def calcola_densita_roccia(massa_rock, massa_after, densita_liquido):
    """
    Calcola la densità di un campione roccioso usando i dati forniti.

    Parametri:
    massa_rock (g): Massa della roccia prima dell'immersione.
    massa_after (g): Massa letta dal dinamometro dopo l'immersione.
    densita_liquido (kg/m^3): Densità del fluido in cui la roccia è immersa.

    Ritorna:
    densita_roccia (kg/m^3): Densità della roccia calcolata.
    """
    # Conversione delle masse da grammi a chilogrammi
    massa_rock_kg = massa_rock / 1000  # kg
    massa_after_kg = massa_after / 1000  # kg

# Calcolo delle forze peso
    F_p_rock = g * massa_rock_kg  # Forza peso della roccia (N)
    F_after = g * massa_after_kg  # Forza letta dal dinamometro dopo l'immersione (N)
    
    # Calcolo della spinta di Archimede
    F_Arch = F_p_rock - F_after  # (N)
    
    # Calcolo del volume della roccia
    V_rock = F_Arch / (densita_liquido * g)  # (m^3)
    
    # Calcolo della densità della roccia
    densita_rock = massa_rock_kg / V_rock  # (kg/m^3)
    
    return densita_rock

# Esempio di utilizzo della funzione con i dati dell'articolo
massa_rock = 316  # g
massa_after = 16  # g
densita_liquido = 830  # kg/m^3

densita_rock = calcola_densita_roccia(massa_rock, massa_after, densita_liquido)

densita_rock