Integrale indefinito

Supponiamo di avere una funzione \( f(x)\) e di voler trovare quella funzione \( F(x)\) tale che la sua derivata sia uguale a \( f(x)\), allora si può concludere che:

\( F'(x) = f(x)\)

In matematica si dice che \( F(x)\) è la primitiva di \(f(x)\), ciò significa che derivando \( F(x)\) si ottiene \(f(x)\).

Provando a essere più formali si può dire quanto segue:

Siano date due funzioni \( \mathbf{f(x)}\) e \( \mathbf{F(x)}\), si diche che \( \mathbf{F(x)}\) è primitiva di \( \mathbf{f(x)}\) se è vero che \(\mathbf{F'(x) = f(x)}\).

A questo punto il matematico, che ormai sa come può calcolare la derivata, si potrebbe chiedere come può, data la derivata, risalire alla funzione primitiva. Il matematico si ricorda il concetto di derivata (di cui abbiamo già discusso il significato geometrico) e si ricorda che vale quanto segue:

\( f'(x) = \frac{df(x)}{dx}\)

Egli è però interessato a trovare \( f(x)\) e quindi, volendosi avvicinare un po’, lo riscrive come segue:

\( df(x) = f'(x) \cdot dx\)

A questo punto il matematico, volendo trovare \(f(x)\), definisce un operatore, chiamato integrale indefinito e con simbolo \( \int\), in modo che gli consenta di risalire alla primitiva di \( f'(x)\). Tale operatore deve rendere il matematico libero dal differenziale infinitesimo su \( f(x)\), trasformando \( df(x)\) in \(f(x)\). Se un tale operatore esistesse e dovesse essere applicato a sinistra e a destra della precedente equazione si otterrebbe:

\( \int df(x) =  \int f'(x) \cdot dx\)

Ovvero:

\( f(x) =  \int f'(x) \cdot dx\)

A questo punto ci si potrebbe chiedere che senso ha quello che è stato appena scritto dal punto di vista geometrico.

Cerchiamo di capirlo facendo un piccolo esempio. Sappiamo bene che per la funzione \(f(x) = x^2\) la derivata è facilmente calcolabile ed è pari a \( f'(x) = 2x\). Inoltre è evidente che se \( g(x) = 2x\) la primitiva \( G(x) = x^2\), poiché \( G'(x) = g(x) = 2x\).

In Figura 1

Viene rappresentata la funzione \( f(x) = x^2\)e la sua funzione derivata \( f'(x) = 2x\). Dalla figura possiamo evincere che, per una derivata calcolata in un qualunque \( x_0\), la quantità \( df(x)\) è pari all’area del rettangolo arancione, poiché è stato detto poco prima che:

\(df(x) = f'(x) \cdot dx\)

Il potere dell’operatore integrale è quello di risalire al valore della funzione primitiva, punto per punto, di una generica funzione e quindi quello di trasformare l’area del rettangolino \( f'(x) \cdot dx\) nel valore \( f(x)\) e di fare questo lavoro punto per punto, per ogni valore di \( x_0\), in un intervallo pari al campo di esistenza della funzione da integrare. L’integrale indefinito, dati gli indizi del prodotto \( f'(x) \cdot dx\), è in grado di risalire alla funzione che lo ha generato. Il risultato è quello di ottenere una funzione, la quale è primitiva di quella nell’argomento dell’integrale. Un altro modo di vedere l’integrale indefinito è quello di un operatore che si comporta da puntuale (nel senso di punto per punto) rintracciatore della funzione (primitiva) la cui tangente, nel punto \( x_0\) dato, è la retta con pendenza \( f'(x_0)\). Quindi se la funzione derivata \( f'(x)\) ha, per ogni x, valori corrispondenti ai coefficienti angolari di tutte le rette tangenti a \(f(x)\), l’integrale è in grado di snocciolare al contrario l’enigma, trovando quella forma di funzione \( f(x)\) che, per ogni punto, ha rette tangenti con coefficienti angolari pari a \( f'(x)\). Inoltre se la derivata è un limite di un rapporto incrementale, l’integrale è quell’ operatore che sfrutta le informazioni contenute nel limite del rapporto incrementale per indovinare quella funzione che, per quell’ \( x_0\), avrebbe potuto dare quel risultato.

A questo punto il matematico potrebbe obiettare quanto segue:

• se è vero che la funzione derivata di \((x) = x^2\) è pari a  \(f'(x) = 2x\) non è proprio vero che se \( g(x) = 2x\) la primitiva è \(G(x) = x^2\);
• infatti se \( g(x) = 2x\) la primitiva può essere \(G(x) = x^2\) ma anche \(G_1(x) = x^2 + 1\), \(G_2(x) = x^2 – 3\), \(G_2(x) = x^2 +7/2\) etc, poiché anche in questo caso \( G'(x) = g(x) = 2x\)
• In generale si può dire che se \( g(x) = 2x\) la primitiva è \(G(x) = x^2 + c\) con \( c \in \mathbb{R}\)

Quindi la:

\( f(x) =  \int f'(x) \cdot dx\)

Va corretta come segue:

\( f(x) + c =  \int f'(x) \cdot dx\) con \( c \in \mathbb{R}\)

In generale si dice come di seguito.

Si dice integrale indefinito l’operatore che, data la funzione \(f(x)\), è in grado di trovare la famiglia delle primitive di \( f(x)\) stessa, ovvero:

\( \int f(x) \cdot dx = F(x) + c\)   con    \( c \in \mathbb{R}\)