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Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Si voglia risolvere la seguente equazione:

\( 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)\)

Soluzione

Siccome:

\( cos^2(x)+sin^2(x)=1\)

Si ha che:

\(sin^2(x)=1-cos^2(x)\)

E quindi la \( 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)\)diventa:

\( 2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]\)

E ancora:

\(2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow\)

\( 4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow\)

Ponendo:

\( t=cosx\)

Si ha:

\( 4t^2-3t-1=0\)

Da cui si può calcolare:

\( t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow\)

\(t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow\)

E quindi:

\( t_{1} = -\frac{1}{4}\)

e \( t_{2} = 1\)

Siccome poi:

\( t=cosx\)

Si ha che:

\( x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi\) con \(x k \in \mathbb{Z}\)