Si vogliono trovare i valori di \( x\) che soddisfano la seguente disequazione di secondo grado logaritmica:
\( [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0\)
Soluzione
Per risolvere la disequazione si pone:
\( t=log_{2}(x+5)\)
E così la disequazione di secondo grado diventa:
\( t^{2}-t-6>0\)
Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:
\( t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow\)
\( t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow\)
\( t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow\)
Da cui:
\( t_{1}=-2\)
\(e t_{2}=3\)
E quindi, essendo che \( t^{2}-t-6\) ha il coefficiente \( a>0\) (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddisfatta per valori di \(t\) nei seguenti intervalli:
\(t<-2 \vee t>3\)
Ricordiamo ora che:
\( t=log_{2}(x+5)\)
Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:
\( (x+5) > 0 \rightarrow\)
\( x>-5\)
Quindi si accettano soluzioni della \( [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0\) solo se \( x>-5\).
D’altra parte se è vero che \( t=log_{2}(x+5)\)deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:
\( log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3\)
Ovvero dovrebbe essere che:
\( (x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8\)
E quindi:
\( x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)
Ma siccome doveva essere che \(x>-5\)le soluzioni sono:
\( -5<x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)
Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

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