Disequazione logaritmica di secondo grado: esercizio svolto

Come si risolve una disequazione logaritmica di secondo grado? Prima si determina il dominio del logaritmo; poi si introduce una nuova variabile per trasformare l’espressione in una disequazione quadratica. Infine, si torna alla variabile originale e si selezionano gli intervalli ammessi.

Testo della disequazione logaritmica

Si vogliono trovare i valori di \( x\) che soddisfano la seguente disequazione di secondo grado logaritmica:

\( [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0\)

Soluzione con sostituzione e studio del segno

Condizione di esistenza: il logaritmo è definito se \(x+5>0\), quindi se \(x>-5\). Pertanto, ogni soluzione trovata dovrà rispettare questo vincolo. Per semplificare la disequazione, poniamo:

\( t=log_{2}(x+5)\)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

\( t^{2}-t-6>0\)

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

\( t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow\)

\( t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow\)

\( t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow\)

Da cui:

\( t_{1}=-2\)

\(e t_{2}=3\)

E quindi, essendo che \( t^{2}-t-6\) ha il coefficiente \( a>0\) (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddisfatta per valori di \(t\) nei seguenti intervalli:

\(t<-2 \vee t>3\)

Ricordiamo ora che:

\( t=log_{2}(x+5)\)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

\( (x+5) > 0 \rightarrow\)

\( x>-5\)

Quindi si accettano soluzioni della \( [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0\) solo se \( x>-5\).

D’altra parte se è vero che \( t=log_{2}(x+5)\)deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

\( log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3\)

Ovvero dovrebbe essere che:

\( (x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8\)

E quindi:

\( x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)

Ma siccome doveva essere che \(x>-5\)le soluzioni sono:

\( -5<x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

Altri esercizi sulle disequazioni

Per approfondire lo studio del segno dei fattori, consulta la guida sulle disequazioni polinomiali. In alternativa puoi utilizzare la dispensa con quattro esercizi svolti.