Le equazioni goniometriche di secondo grado sono tra gli argomenti più importanti della goniometria e ricorrono frequentemente nelle verifiche di matematica, nei compiti in classe, nei test di ammissione e negli esami universitari. Per affrontarle correttamente è fondamentale riconoscere la struttura dell’equazione, scegliere il metodo risolutivo più adatto e applicare con precisione le proprietà delle funzioni goniometriche. In questo esercizio svolto troverai una soluzione completa e commentata, sviluppata passo dopo passo, con l’obiettivo di mostrarti non solo i calcoli, ma soprattutto il ragionamento matematico che porta alla soluzione finale.
Ogni passaggio viene spiegato in modo chiaro per aiutarti a comprendere il procedimento, evitare gli errori più comuni e acquisire un metodo di lavoro da riutilizzare anche negli esercizi successivi. Questo esempio rappresenta una guida pratica per chi desidera imparare come risolvere un’equazione goniometrica di secondo grado, consolidare la teoria studiata e migliorare la propria preparazione in vista di verifiche, interrogazioni o esami.
Se stai cercando un esercizio svolto sulle equazioni goniometriche di secondo grado con spiegazioni dettagliate e un approccio orientato alla comprensione, questo contenuto costituisce un valido punto di riferimento per esercitarti e sviluppare maggiore sicurezza nella risoluzione di problemi di goniometria.
Si voglia risolvere la seguente equazione:
\( 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)\)
Soluzione equazioni goniometriche
Siccome:
\( cos^2(x)+sin^2(x)=1\)
Si ha che:
\(sin^2(x)=1-cos^2(x)\)
E quindi la \( 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)\)diventa:
\( 2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]\)
E ancora:
\(2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow\)
\( 4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow\)
Ponendo:
\( t=cosx\)
Si ha:
\( 4t^2-3t-1=0\)
Da cui si può calcolare:
\( t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow\)
\(t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow\)
E quindi:
\( t_{1} = -\frac{1}{4}\)
e \( t_{2} = 1\)
Siccome poi:
\( t=cosx\)
Si ha che:
\( x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi\) con \(x k \in \mathbb{Z}\)