Trova il trapezio conoscendo la sua area e la parabola

Testo

Determina le coordinate dei punti di un trapezio di area 32 che ha i suoi punti su una parabola di equazione:

\(y= -x^2 + 8x -7\)

Soluzione

La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:

\( x_{1,2} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-7)}}{2\cdot(-1)}\)

Da cui:

\( x_{1} = 1\) e \(x_{2} = 7\)

La base maggiore \( AB\) misura quindi \( 6\).

La formula dell’area di un trapezio isoscele è:

\(A_{Trapezio} = \frac{(B+b)h}{2}\)

Di cui sono noti solo:

\(A_{Trapezio} = 32\)e \( B = 6\)

Per trovare una relazione che leghi \(b\) e \( h \) è necessario considerare il sistema:

\(\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.\)

E risolvere:

\( x^2 – 8x + (7+h) = 0\)

Quindi:

\( x_{1,2} = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(7+h)}}{2\cdot(1)}=\)

\( =\frac{8\pm \sqrt{36-4h}}{2}\)

Da cui:

\( x_{1} = 4-\sqrt{9-h}\)

\(x_{2} = 4+\sqrt{9-h}\)

E allora \(b\)sarà esprimibile come:

\( b=x_{2,b}-x_{1,b}= 2 \sqrt{9-h}\)

Volendo esplicitare \( h\):

\( b^2 = 4(9-h) \rightarrow b^2 = 36-4h \rightarrow h= \frac{36-b^2}{4}\)

Quindi:

\(A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot \frac{36-b^2}{4}\)

E allora:

\(32 = \frac{(6+b)(36-b^2)}{8} \rightarrow\)

\(256 = (6+b)(36-b^2) \rightarrow\)

\( 256 = 216-6b^2+36b-b^3 \rightarrow\)

\( b^3+6b^2-36b+40=0\)

Da Ruffini:

\((b-2)(b^2+8b-20)=0\)

Da cui:

\( b_{1}=2\)

E:

\(b_{2,3}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \rightarrow\)

\( b_{2}=2\)

\(b_{3}=-10\)

L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.

Poiché:

\( h= \frac{36-b^2}{4}\)

allora:

\( h= 8\)

Se ciò è vero significa che il sistema:

\( \left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.\)

Deve essere riscritto come segue:

\(\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=8\end{matrix}\right.\)

In quanto \( h= 8\) e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta \( y= 8\).

Volendo trovare quindi i punti \( C\) e \( D\) richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:

\( -x^2 + 8x -15=0\)

E quindi:

\(x_{C,D} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-15)}}{2\cdot(-1)} \rightarrow\)

\( x_{C} = 3 ; x_{D} = 5\)

Da cui, in definitiva:

\( A(1;0),B(7;0),C(3;8),D(5;8)\)