La funzione seno è una delle funzioni fondamentali della trigonometria. In questa guida analizziamo il grafico, il periodo, l’ampiezza e le traslazioni della curva. Per interpretarla correttamente, partiamo dalla definizione di funzione e osserviamo come variano i valori al cambiare dell’angolo.
Una funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore di uscita. Nel caso del seno, a ogni angolo espresso in radianti corrisponde un valore compreso tra −1 e 1. Inoltre, il grafico si ripete dopo un intervallo di \(2\pi\) radianti.
Grafico della funzione seno
Come si può notare la funzione \( sen(x)\) è compresa tra -1 e 1. Quando si dice che una funzione è compresa tra -1 e 1 si intende che le ordinate di tutti i punti che costruiscono la funzione \(f(x)=sen(x)\) non assumono mai valori fuori dall’intervallo \(-1\leq f(x)\leq1\).
La funzione \(f(x)=sen(x)\) ha un periodo di \(T=2\pi\), dove con periodo si intende la più piccola porzione di curva che, traslata della propria estensione in x, si sovrappone perfettamente alla prossima porzione di curva. Nella figura seguente viene rappresentato \(sen(x)\) per \(0 \leq x \leq 2 \pi\).
Se volessimo amplificare la curva basterebbe premoltiplicare il seno per una costante, tipo:
\(A \cdot sin(x)\)
Si guardi infatti la differenza nella figura seguente tra:
\(f(x)=sen(x)\) e
\(g(x)=2 \cdot sen(x)\)
Traslazione verticale della funzione seno
\(sin(x) + B\) con \(B >0 \)
Per poter traslare la funzione seno verso il basso basta porre:
\(\sin(x) + B\) con \( B <0\)
Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso il basso per \( B =-4\)
Supponiamo ora di voler aumentare la frequenza di \(sin(x)\), allora basta porre:
\(sin(\omega x)\)
Nella figura in basso viene mostrato il cambiamento della frequenza della funzione seno per \( \omega = 2\), come si può notare la frequenza della curva aumenta.
Traslazione orizzontale della funzione seno
\(sin(x + \phi)\) con \( \phi >0\)
Invece per poter traslare la curva verso destra basta porre:
\(sin(x + \phi)\) con \( \phi <0\)
Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione verso destra per \( x= – \frac{\pi}{4}\)
In conclusione la formula generale del seno risulta essere:
\(A \cdot sin( \omega x + \phi ) + B\)
in cui:
- \( A \) amplifica la funzione \(sin(x)\)
- \(B\) trasla verso l’alto o verso il basso la funzione \(sin(x)\)
- \( \omega\) abbassa o aumenta la frequenza della funzione \( sin(x)\)
- \( \phi\) trasla verso destra o verso sinistra la funzione \(sin(x)\)
Esempi e approfondimenti sulla funzione seno
Se vuoi applicare le trasformazioni a un grafico, consulta anche l’articolo su come effettuare la rotazione della funzione seno con MATLAB.
[…] Per capire meglio le discussioni sulla funzione seno si faccia riferimento a questo link. […]