Trova il valore incognito della progressione aritmetica

Il testo di questo esercizio sulla progressione aritmetica è tratto dal quesito numero 6 dell’esame di maturità per i licei scientifici del 2008.

testo

se \( \binom{n}{1} \; \binom{n}{2} \; \binom{n}{3} \) con \( n>3\) sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

Soluzione

Ricordando che il coefficiente binomiale è pari a:

\( \binom{n}{k} = \frac{ n !}{ k ! ( n-k) ! }\)

Quindi:

\( \binom{n}{1} = \frac{ n!}{ 1! (n-1)!}\)

\( \binom{n}{2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}\)

\( \binom{n}{3}= \frac{n!}{3!(n-3)!} \)

Siccome deve essere in progressione aritmetica, deve essere:

Quindi:

\( \frac {n!}{2! (n-2)!} – \frac {n!}{1! (n-1)!} = \frac {n!}{3! (n-3)!} – \frac {n!}{2! (n-2)!} \)

Ma:

Quindi:

\( \frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\frac{n(n-1)}{2} \)

e allora:

Quindi una soluzione è \(n_1=0\) ma non la accettiamo.

Quindi vogliamo studiare:

\(6(n-1) -6-(n-1)(n-2)=0\)

\( 6n-6-6-[n^2-3n+2]=0\)

\(6n-6-6-[n^2+3n-2]=0\)

\(n^2-9n+14=0\)

Quindi:

\(n_{2,3}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{9 \pm \sqrt{81-56}}{2}= \frac{9 \pm 5}{2}\)

Quindi:

\(n_2=2 ; \; n_3=7\)

Quindi la soluzione che cercavamo è \(n=7\)

Risolvere un esercizio che richiede di trovare il valore incognito in una progressione aritmetica è importante perché aiuta a sviluppare competenze matematiche fondamentali, capacità di problem solving e prepara per applicazioni pratiche e studi futuri.

Le progressioni aritmetiche sono concetti matematici fondamentali e la capacità di risolvere problemi legati ad esse dimostra una comprensione dei concetti di base della matematica. Risolvere problemi di questo tipo richiede di utilizzare logica e ragionamento matematico per trovare una soluzione, sviluppando così le capacità di problem solving che sono utili in varie situazioni nella vita quotidiana e in ambiti accademici e professionali.

Inoltre, le progressioni aritmetiche hanno numerose applicazioni pratiche in vari campi, come l’economia, la fisica, l’ingegneria e altro ancora. Essere in grado di risolvere problemi relativi alle progressioni aritmetiche può essere utile in contesti reali e preparare gli studenti per argomenti matematici più avanzati. Infine, risolvere con successo problemi matematici può aumentare la fiducia in se stessi e nella propria capacità di affrontare sfide simili in futuro.