Trova il cilindro con volume massimo e stessa superficie

Il testo di questo esercizio sul cilindro è tratto dal quesito numero 3 dell’esame di maturità per i licei scientifici del 2008.

Testo

Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo?

Soluzione

La superficie del cilindro è:

In cui:

\(A_b\) è l’aria di base;

\(S_l\) è la superficie laterale

Ricordiamo che:

\(A_b= \pi r^2\)

e che:

\(S_l=2 \pi r \cdot h\)

In cui:

\(r\) è il raggio della base del cilindro

\(h\) è l’altezza del cilindro

Quindi:

\(S_{cil}=2 \pi r^2+2 \pi r h= 2 \pi (r^2+rh) \)

Il volume del cilindro è dato da:

\(V_{cil}=A_b \cdot h = \pi r^2 h\)

Dobbiamo trovare \((v_{massimo}) \) sapendo che:

\(S_{cil}=k\)

Con \(k\) costante.

Quindi:

\( 2\pi (r^2+rh)=k\)

Esplicitiamo per \(r\) in modo da trovare \(h(r)\) si ha:

\((r^2+rh)=\frac{k}{2 \pi}\)

sottraggo \(r^2\) a sinistra e a destra:

\(rh= \frac{k}{2 \pi} – r^2\)

Divido per \(r\) a sinistra e a destra:

\(h(r)=\frac{k}{2 \pi r} -r\)

troviamo \(V_{cil} (r)\) sostituendo \(h(r)\) in \(V_{cil}\) si ottiene:

\(V_{cil}(r)= \pi r^2 (\frac{k}{2 \pi r} -r) = \frac{ \pi k}{2} r- \pi r^3 \)

Calcolo la derivata \(V’_{cil} (r) \). Per farlo ricordiamo che:

\( D [kf(x)] = kf'(x) \)

E che:

Quindi si ha:

\(V’_{cil}(r) = \frac{ \pi k}{2} – 3 \pi r^2 \)

Essendo una parabola ha due valori in cui vale zero. Perciò ci sono due punti a derivata nulla della funzione.

\( \frac{ \pi k}{2}-3 \pi r^2=0\)

Semplifico per \( \pi \):

\( \frac{k}{2} -3 r^2 =0\)

Porto a destra il termine costante:

\(-3 r^2 = -\frac{k}{2}\)

Divido a sinistra e a destra per -3:

\(r^2=\frac{k}{6}\)

Faccio radice a sinistra e a destra (accettando solo la soluzione positiva perché \(r\) non può essere negativo:

\(r_0= \sqrt{ \frac{k}{6}} \)

Che deve essere inevitabilmente il nostro punto di massimo. Per verificare che è punto di massimo calcoliamo la derivata seconda:

\({V}”_{cil} (r) = -6 \pi \sqrt{ \frac{k}{6}}\)

Che è sicuramente minore di zero e quindi punto di massimo. Perciò il valore di raggio accettato affinché il volume del cilindro sia massimo è \( \sqrt{ \frac{k}{6}}\)