Campo di esistenza di una funzione radicale sinusoidale

Testo

Esamina il campo di esistenza e derivata prima di questa funzione:

\(f(x)= \sqrt{ sin ( \frac{2}{x^2}})\)

Soluzione della funzione radicale sinusoidale

il campo di esistenza deve essere dato da:

\(\left\{\begin{matrix} x^2 \cancel{=} 0 \; \; denominatore \; diverso \; da \; zero \\ sin ( \frac{2}{2x^2})\geq 0 \; argomento \; della \; radice \; maggiore \; di \; zero \end{matrix}\right.\)

andiamo a vedere quando:

\(sin ( \frac{2}{x^2}) \geq 0\)

Che, posto \( \theta = \frac{2}{x^2}\) è vero quando:

\( 0 \leq \theta \leq \pi \; \; \; \theta \in \left \lceil 0; 2 \pi \right \rceil \)

per intervalli di angolo generali deve essere:

\(2k \pi \leq \theta \leq \pi + 2k \pi \: \: \: k \in \mathbb{Z} \)

In generale quindi possiamo dire che:

\( 2k \pi \leq \frac{2}{x^2} \leq \pi + 2k \pi \: \: \: k \in \mathbb{Z} \)

Quindi:

\( 2k \pi x^2 \leq 2 \leq ( \pi +2k \pi ) x^2 \: \: \: k \in \mathbb{Z} \)

e allora:

\(\left\{\begin{matrix} ( \pi + 2k \pi) x^2 \geq 2 \: \: \: k \in \mathbb{Z} \\ 2k \pi x^2 \leq 2 \end{matrix}\right.\)

Risolvendo si ha:

In definitiva i valori di \(x\) concessi sono:

\(-\sqrt{\frac{1}{k \pi}} \leq x \leq-\sqrt{\frac{2}{\pi+2 k \pi}} \vee \sqrt{\frac{2}{\pi+2 k \pi}} \leq x \leq \sqrt{\frac{1}{k \pi}} \quad \text { con } k \in \mathbb{N}-{0} \)

Inoltre esiste l’intervallo seguente, valido solo per \(x \in [0;2 \pi] \)

\(x \leq-\sqrt{\frac{2}{\pi}} \quad \text { V } \quad x \geq \sqrt{\frac{2}{\pi}} \quad x \in[0 ; 2 \pi]\)

Ti è stato utile questo esercizio? ti ricordiamo che nella nostra sezione riguardanti le varie materie tra cui Matematica, Fisica e Chimica, potrai trovare un sacco di esercizi totalmente GRATUITI e potrai inoltre, scaricare il PDF all’interno di ogni articolo nel nostro sito.