Testo

Servendoti della definizione di derivata, calcola il suo valore nel punto \(x_0=1\).

\(f(x)=4x^2\)

Soluzione

La definizione di derivata è: \(f'(x_0)= \lim_{ \; h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) -f (x_0)}{h}\)

Quindi, come prima cosa sostituiamo \(x_0\) con il valore di 1:

\(f'(1)= \lim_{ \;h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)

Sostiutisco la funzione con la sua dipendenza da \(x\). Sostituiamo la \(x\) con gli opportuni valori tra parentesi:

\(f'(1)= \lim_{ \; h \rightarrow 0} \frac{4(1+h)^2 -4 (1)^2}{h}\)

Facendo qualche lavorazione ci accorgiamo che raggiungiamo la forma \(\frac{0}{0}\) che rende il limite non esistente.

\(f'(1)= \lim_{ \; h \rightarrow 0} \frac{4 [h^2+2h]}{h}= \frac{0}{0}\)

Raggruppa per \(h\), riusciamo a risolvere il limite, perché poi il valore \(h\) si semplifica:

\(f^{\prime}(1)=\lim _{ \; h \rightarrow 0} \frac{4 h[h+2]}{h}=\)

semplifico \(h\) a numeratore e a denominatore:

\(f'(1)= \lim_{ \; h \rightarrow 0} 4 (h+2)=8\)

Quindi la derivata di \(4x^2\) calcolata in \(1\) vale \(8\).

Calcolare la derivata di una funzione in un punto tramite la definizione è importante perché fornisce una comprensione dettagliata del comportamento locale della funzione in quel punto specifico. Questo calcolo consente di determinare il tasso istantaneo di variazione della funzione in quel punto, che è cruciale in molte aree della matematica e delle scienze, come l’ottimizzazione, l’analisi del movimento e l’ingegneria. Inoltre, comprendere come calcolare la derivata tramite la definizione aiuta a stabilire una solida base concettuale per affrontare argomenti più complessi, come le derivate di ordine superiore e le applicazioni pratiche dell’analisi matematica

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