Studio di una funzione con asintoti verticali e obliqui

testo

Studiare la seguente funzione

\(f(x)=\frac{x^3+1}{x^”-x-2}\)

Soluzione

Dominio

Per trovare il dominio si considera quanto segue:

\(x^2-x-2 \cancel{=}0\)

che ha soluzioni date da:

1.1        Intersezioni con gli assi

Con l’asse delle ascisse deve essere:

\(f(x)=0 \rightarrow = \frac{x^3+1}{x^2-x-2}=0\)

Quindi:

\(x^3+1=0\)

\(x=-1\)

Questo punto non può esistere perché non è ammesso dal campo di esistenza. Quindi la curva non interseca l’asse delle ascisse.

Con le ordinate deve essere:

\(f(x=0)=\frac{0^3+1}{0^2-0-2}=-\frac{1}{2}\)

Positività della funzione

Dobbiamo ora valutare dove \(f(x)>0\)

\(\frac{x^3+1}{x^2-x-2}>0\)

Quindi il numeratore e denominatore devono avere lo stesso segno.

Il denominatore \(D(x)\) è rappresentato da una parabola rivolta verso l’alto che interseca in -1 e 2. Perciò è positivo per valori esterni a -1 e 2.

\(D(x)>0 \rightarrow x < -1 \vee x > 2\)

Il numeratore \(N(x)\) è invece una cubica centrata in \( (0,1)\). Tale curva è maggiore di zero per valori di \(x\) maggiori all’unica intersezione che possiede con gli assi, cioè -1-

Perciò:

\(N{x}>0 \rightarrow x > -1\)

Quindi:

In definitiva la funzione è positiva per:

\(x>2\)

Tutte le altre sono regioni di negatività.

Limiti ai confini del dominio

Per \(x=-1\) la funzione è semplicemente discontinua, infatti, applicando il teorema di de l’Hopital si ottiene:

Dobbiamo capire cosa succede per \(x \rightarrow 2\) sia da sinistra che da destra.

Perciò in due c’è un asintoto verticale.

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Ricerca di asintoto obliquo

Bisogna calcolare:

E poi:

A questo punto manca lo studio della derivata

Studio della derivata prima

Sapendo che la funzione è:

\(f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{x^3+1}{x^2-x-2}\)

La derivata della funzione è:

\(f'(x)=\frac{N'(x)D'(x)-N(x)-D'(x)}{[D(x)]^2}=\)

\(\frac{3x^2(x^2-x-2)-(x^3+1)(2x-1)}{(x^2-x-2)^2}=\)

\(\frac{3x^4-3x^3-6x^2-2x^4+x^3-2x+1}{(x^2-x-2)^2}=\)

\(\frac{x^4-2x^3-6x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)^2}=\)

\(\frac{(x+1)^2(x^2-4x+1)}{(x+1)^2(x-2)^2}=\)

In definitiva:

\(f'(x)=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\)

Che è pari a zero quando:

\(x^2-4x+1=0\)

Cioè:

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\)

\(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}= \)

\(\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}= 2 \pm \sqrt{3}\)

Ovvero in:

\(x_1=2- \sqrt{3}\) ; \(x_2=2+\sqrt{3}\)

A questo punto la funzione è chiara ed è come di seguito