In geometria, due piani sono perpendicolari quando decidono di formare un angolo retto tra di loro! 😎 In altre parole, due piani sono perpendicolari tra loro se le loro normali (che sono come le linee perpendicolari ai piani) sono perpendicolari tra loro.
🧙♂️ La formula magica per capire se due piani sono perpendicolari🧙♀️
Per scoprire se due piani sono perpendicolari, possiamo utilizzare questa formula magica:
🧙♂️ \( \pi_1 \perp \pi_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=0 \) 🧙♀️
Dove \( \overrightarrow{n_1}\) e \( \overrightarrow{n_2}\) sono come le bacchette magiche dei due piani, e il\( \cdot\) è come il trucco del mago che si chiama “prodotto scalare tra vettori.” Questo trucco ci dice che se il prodotto scalare è zero, allora l’angolo tra i due vettori è di 90 gradi, e quindi i due piani sono perpendicolari! 🎩✨
🎩 Gli esempi magici per capire se due piani sono perpendicolari
Guardiamo alcuni esempi di questo trucco magico in azione!
Primo esempio
Abbiamo due piani, \( \pi_1 :x+y+z=0\) e \( \pi_2 :x-y+z=0\).Per trovare le bacchette magiche dei due piani, dobbiamo solo leggere i numeri incantati: \( \overrightarrow{n_1}= (1,1,1)\) e \( \overrightarrow{n_2}=(1,-1,1)\). Ora facciamo il trucco del prodotto scalare:
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=(1,1,1) \cdot(1,-1,1)=1 \cdot 1+1 \cdot(-1)+1 \cdot 1=1\)
Poof! Il prodotto scalare è diverso da zero, quindi i due piani NON sono perpendicolari!
Secondo esempio
Altri due piani, \(\pi_1: x+y-z=3 \text { e } \pi_2: x-y-z=-3\). Le bacchette magiche sono: \( \overrightarrow {n_1}\) = \( (1,1,-1) \) \( \overrightarrow {n_2}\) = \( (1,-1,1) \)
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=(1,1,-1) \cdot(1,-1,-1)=1 \cdot 1+1 \cdot(-1)+(-1) \cdot(-1)=1\)
Abracadabra! Anche qui, il prodotto scalare è diverso da zero, quindi i due piani NON sono perpendicolari!
Terzo esempio
Ma aspetta, ci sono altri due piani, \( \pi_1 :x+y+z=0\) e \( \pi_2:x+y-2z=0\).Le bacchette magiche sono \(\overrightarrow{n_1}=\) \( (1,1,1)\) = \(\overrightarrow{n_2}=\) \( (1,1,-2)\). E ora il trucco:
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_3}=(1,1,1) \cdot (1,1,-2)=0\)