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Introduzione

I vasi comunicanti sono una configurazione di recipienti collegati tra loro in cui il livello del liquido si equilibra tra i diversi vasi. Questo fenomeno trova applicazioni in diversi contesti pratici. In questo articolo, esploreremo in dettaglio come calcolare le formule inverse dei vasi comunicanti, tenendo conto dei fattori coinvolti e delle relazioni matematiche necessarie.

Formule dei vasi comunicanti

 Se abbiamo un solo liquido nei vasi comunicanti, l’altezza del liquido nel primo recipiente \((h_1)\) sarà uguale all’altezza del liquido nel secondo recipiente \((h_2)\):

\(h_1=h_2\)

Questa è la formula di base per i vasi comunicanti con un solo liquido. La pressione a una certa altezza \((h)\) nel liquido è data dalla legge di Stevino:

Dove \(P\) è la pressione, \(p_A\) è la pressione atmosferica, \(\rho\) è la densità del liquido, \(g\) è l’accelerazione gravitazionale e \(h\) è l’altezza dal livello di superficie del liquido.

Questa formula ci permette di calcolare la pressione in un dato punto nel liquido.

Formule inverse dei vasi comunicanti

Le formule inverse dei vasi comunicanti sono utilizzate per calcolare l’altezza del liquido in un recipiente conoscendo l’altezza in un altro recipiente e le proprietà dei liquidi coinvolti. Di seguito sono riportate le formule inverse più comuni:

Se abbiamo due liquidi con densità \(\rho_1\) e \(\rho_2\), e conosciamo l’altezza del liquido nel primo recipiente \((h_1)\), possiamo calcolare l’altezza del liquido nel secondo recipiente \((h2)\).

Per il primo recipiente, possiamo scrivere l’equazione della pressione come:

\(P_1=p_A + \rho_1 gh_1\)

\(P_2=p_A + \rho_1 gh_2\)

Poiché i vasi comunicanti sono in equilibrio, le pressioni nei due recipienti devono essere uguali, quindi possiamo scrivere:

\(P_1=P_2\)

Sostituendo le equazioni delle pressioni, otteniamo:

\(p_A + \rho_1 gh_1=p_A + \rho_1 gh_2\)

Le pressioni atmosferiche si cancellano poiché sono uguali in entrambe le equazioni. Quindi l’equazione diventa:

\(h_2= \frac{\rho_1}{\rho_2}h_1\)

Che possiamo sempre usare per ricavare l’altezza nel secondo recipiente. Analogamente, se abbiamo due liquidi con densità \(\rho_1\) e \(\rho_2\), e conosciamo l’altezza del liquido nel secondo recipiente \((h2)\), possiamo calcolare l’altezza del liquido nel primo recipiente \((h_1)\) utilizzando la seguente formula:

\(h_1=\frac{\rho_2}{\rho_1}h_2\)

Se abbiamo due liquidi con densità \(\rho_1\) e \(\rho_2\), e conosciamo l’altezza del liquido nel primo recipiente \((h1)\) e nel secondo recipiente \((h2)\), possiamo calcolare il rapporto tra le densità dei liquidi utilizzando la seguente formula:

\(\frac{\rho_2}{\rho_1}h_2=\frac{h_1}{h_2}\)

Esempio di applicazione delle formule inverse

Supponiamo di avere due liquidi, acqua e olio, con densità rispettivamente di \(1000 \frac{kg}{m^3}\) e \(900 \frac{kg}{m^3}\) Se l’altezza del liquido nell’acqua è di 1 metro, possiamo calcolare l’altezza del liquido nell’olio utilizzando la formula \(h_2=\frac{\rho_1}{\rho_2}h_1\):

\(h_2=\frac{1000 \frac{kg}{m^3}}{900 \frac{kg}{m^3}} 1m= 1.11 \; metri\)

Quindi, l’altezza del liquido nell’olio sarà di \( 1.11 metri\)

Conclusioni

Le formule inverse dei vasi comunicanti ci consentono di calcolare l’altezza del liquido in un recipiente conoscendo l’altezza in un altro recipiente e le proprietà dei liquidi coinvolti. Utilizzando le relazioni tra le densità dei liquidi e le altezze nei vasi, possiamo determinare con precisione le variazioni di livello del liquido. Questo principio trova applicazioni pratiche in diversi campi, come l’idraulica e l’ingegneria.