Calcolo della corrente minima necessaria per allontanare il filo dall’asta

Testo

Determina la direzione e l’intensità della corrente minima necessaria da far scorrere in un’asta di ferro, affinché un filo di rame \((densità \; \rho = 8960 \frac{kg}{m^3})\) si allontani dall’asta stessa. Il filo di rame è lungo \( 4.5 \; m\) , con sezione trasversale circolare di diametro \(3.0 \; mm\) percorso da una corrente di 45A. Il filo di rame è appoggiato su una superficie che presenta un coefficiente d’attrito \( \mu =0.2 \). L’asta di ferro è molto lunga (supponi lo sia infinitamente) e si trova fissata alla superficie di interesse disposta parallelamente rispetto al filo di rame, a una distanza di \(3.0 \; cm\).

Prerequisiti per il calcolo della corrente minima necessaria..

Per poter risolvere questo problema si deve conoscere:

• La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
• Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
• Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
• I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si osservi che il volume del filo è pari a quello di un cilindro:

Per poter trovare la massa del filo si procede come segue:

\(m= \rho V = 8960 \frac{kg}{m^3} \cdot 3.179 \cdot 10^{-5} m^3 \approx 0.285 kg\)

La forza peso associata al filo di alluminio è quindi pari a:

\(F_p = mg=0.285 kg \cdot 9.81 \frac{m}{s^2} \approx 2.79\)

quindi la forza d’attrito è pari a:

\(F_a=\mu F_{\perp} =0.2 \cdot 2.79 N \approx 0.56N\)

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\( \overrightarrow{F}= \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_1 \; i_2}{d} l \cdot \hat{u}_r\)

In cui:

• \(\overrightarrow{F}\) è la forza tra i due fili ;
• \( \frac {\mu}{2 \pi}\) è una costante, di cui, \mu è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
• \(i_1\) è la corrente che attraversa il primo filo;
• \(i_2\) è la corrente che attraversa il secondo filo;
• \(d\) è la distanza tra i due fili;
• \(l\) è la lunghezza dei due fili;
• \( \hat{u}_r \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Quindi deve essere:

\( \overrightarrow{F} \geq \overrightarrow{F}_a \)

Al minimo deve quindi essere:

\( \frac{\mu}{2pi} \frac{i_1 \; i_2}{d} l+0.56N =0\)

Affinché sia vero, le due correnti che percorrono i due fili devono essere di verso opposto, così:

\(i_2= 0,56 \frac{d 2 \pi }{l \mu i_2}= \frac{0,42 \cdot 3 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \pi}{4,5 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 45} \approx 414,21 A \)

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