Il metodo di Ruffini – esempio pratico

Capire il metodo di Ruffini tramite un esempio pratico

Si supponga di voler scomporre il seguente polinomio:

Il metodo di Ruffini ci garantisce che tale polinomio è scomponibile in una forma del tipo:

\((Ax^2+Bx+C)(x+D)\)

Da cui non ci rimane che scoprire i coefficienti A,B,C e D.

Se questa scomposizione è possibile allora il numero D è, in modulo, una radice del polinomio.

Una radice di un polinomio è un valore di \(x\) che annulla il polinomio. per esempio una radice del polinomio \(x^2+3x-4\) è \(1\), perché sostituendo la \(x\) si ha un annullamento del polinomio. infatti:

\((1)^2+3(1)-4=1+3-4=0\)

Il modulo..

è un operatore matematico che, dato un numero, restituisce lo stesso positivizzato. Esempi di modulo di un numero sono i seguenti:

\(|-2|=2;|-7|=7;|5|=5\)

Se è vero che una radice di un polinomio è un numero che sostituito alla x annulla il polinomio stesso, ci dovrà dunque essere un numero che sostituito al nostro polinomio di interesse \(x^3+x^2-4x-4\) lo rende uguale a zero, infatti:

\(x^3+x^2-4x-4=0\)

\((-2)^3+(-2)^2-4(-2)-4=0\)

\(-8+4+8-4=0\)

\(0=0\)

\(x_1=-2\)

Quindi una radice del polinomio è \(-2\),, quindi è un valore che annulla il polinomio e può essere inteso come uguale a \(D\) se viene cambiato di segno. In sostanza possiamo porre che:

\(D=2\)

Infatti se questo è vero il binomio \(x+D\) si annullerebbe solo quando \(x=-2\).

Il polinomio \(x^3+x^2-4x-4\) però ha grado tre, perciò ci si aspetta abbia un massimo di 3 radici \((x_1,x_2,x_3)\), cioè tre valori che annullano il polinomio. Teniamo in considerazione che il grado del polinomio possiede, perciò un polinomio di grado tre ha tre radici.

Come detto se è vero che:

\(x^3+x^2-4x-4=(Ax^2+Bx+C)(x+2)\)

Allora è vero che anche \((Ax^2+Bx+C)(x+2)=0\) quando \(x=x_1=-2\)

infatti:

\((A(-2)^2+B(-2)+c)((-2)+2)=0\)

\((4A-2B+C)(0)=0\)

\(0=0\)

Vediamo ora come sfruttare il metodo di Ruffini per trovare i coefficienti che ci mancano. Ricordiamoci che è necessario riportare tutti i coefficienti del polinomio e poi la radice che abbiamo trovato, esattamente come riportato di seguito.

Adesso il primo step è quello di riportare il primo coefficiente del polinomio come di seguito:

Da ora in poi si procede moltiplicando ogni numero, preso uno dopo l’altro, riportato in basso con la radice, per poi sommare il risultato con i numeri che stanno in alto.

I numeri ottenuti in basso al centro della tabella definiscono i coefficienti del nuovo polinomio di grado inferiore.

Quindi possiamo dire che:

\(x^3+x^2-4x-4=(1x^2-1x-2)(x+2)\)

\(x^3+x^2-4x-4=(x^2-x-2)(x+2)\)

Volendo verificare si moltiplicano i termini, in modo da riottenere il polinomio di partenza: