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Come determinare quando un’equazione è indeterminata, determinata o impossibile

Le equazioni  in matematica sono uguaglianze tra due termini, tipicamente polinomiali, dipendenti da una o più variabili. Spesso in ambito scolastico si tratta il caso di equazioni ad una sola incognita in cui lo scopo è trovare quel valore di \(x\) che uguaglia le quantità a sinistra e a destra dell’uguale.

Un esempio di equazione, nota come equazione di secondo grado nell’incognita \(x\), è la seguente:

\(3x^2+5x-7=0\)

In questo caso lo scopo sarebbe trovare i valori di \(x\) che rendono uguale a zero il polinomio a sinistra dell’uguale.

Ci sono tre possibili condizioni che possono verificarsi nella ricerca della soluzioni:

  • Soluzione determinata
  • Soluzione impossibile
  • Soluzione indeterminata

La soluzione è determinata quando esiste un numero non infinito di valori di \(x\) che soddisfano la richiesta.

Per esempio, l’equazione:

\(x-2=0\)

Chiede per quali valori di \(x\) è che il termine \(x-2\) è uguale a zero. Ovviamente la \(x\) che soddisfa la richiesta è una sola, pari a 2 e in questo caso la soluzione è determinata, perché il valore di \(x\) esiste.

Un’equazione è indeterminata invece quando ha infinite soluzioni, come per esempio:

\(x-2=x-2\)

Questa equazione è indeterminata perché per qualsiasi valore di \(x\) i valori a sinistra e a destra dell’equazione sono uguali. Infatti, completando risulta:

\(0=0\)

Che è vero indipendentemente dal valore assunto da x.

Un equazione è impossibile invece quando trovare la \(x\) che soddisfa la richiesta è impossibile. Un esempio è il seguente:

\(x^2+1=0\)

In questo caso la quantità \(x^2+1\) è sicuramente maggiore di zero, perché, anche se \(x^2\) fosse zero, non si riesce a ottenere un valore più piccolo di \(1\). In questo caso, quindi, è impossibile trovare un valore di \(x\) che rende nullo il polinomio \(x^2+1\).